बिहार बोर्ड कक्षा 10 वी गणित - अध्याय 15: प्रायिकता की NCERT Book

'प्रायिकता' अध्याय कक्षा 10 के गणित का एक महत्वपूर्ण भाग है, जो घटनाओं के घटित होने की संभावना या प्रायिकता के सिद्धांतों पर आधारित है। यह अध्याय छात्रों को प्रायिकता के मूल सिद्धांतों, घटनाओं की गणना और उनके अनुप्रयोगों को समझने में मदद करता है। प्रायिकता का अध्ययन गणित, विज्ञान, खेल, अर्थशास्त्र, और सामाजिक विज्ञान जैसे क्षेत्रों में विभिन्न घटनाओं के अनुमान और भविष्यवाणी के लिए उपयोगी होता है।

मुख्य बिंदु

1. प्रायिकता का परिचय (Introduction to Probability)

• प्रायिकता एक गणितीय विधि है, जिसका उपयोग किसी घटना के होने की संभावना को मापने के लिए किया जाता है।
• यह संख्या 0 से 1 के बीच होती है, जहाँ 0 का मतलब है कि घटना कभी नहीं होगी और 1 का मतलब है कि घटना निश्चित रूप से घटित होगी।

2. प्रायिकता का सूत्र (Formula of Probability)

• किसी घटना की प्रायिकता की गणना निम्नलिखित सूत्र से की जाती है: $$P(E) = \frac{\text{संभावित घटनाओं की संख्या}}{\text{कुल संभावनाओं की संख्या}}$$ जहाँ $P(E)$ घटना $E$ की प्रायिकता है।

3. निश्चित और अनिश्चित घटनाएँ (Certain and Uncertain Events)

• निश्चित घटना: वह घटना जो निश्चित रूप से घटित होगी। उदाहरण: एक सिक्का उछालने पर 'हेड' या 'टेल' आना।
• अनिश्चित घटना: वह घटना जो निश्चित नहीं होती और इसकी प्रायिकता 0 से 1 के बीच होती है।

4. स्वतंत्र और निर्भर घटनाएँ (Independent and Dependent Events)

• स्वतंत्र घटनाएँ: ऐसी घटनाएँ जिनका एक दूसरे पर कोई प्रभाव नहीं होता है। उदाहरण: सिक्का उछालना।
• निर्भर घटनाएँ: ऐसी घटनाएँ जिनका एक दूसरे पर प्रभाव होता है। उदाहरण: कार्ड निकालने पर यदि एक कार्ड निकाला जाता है, तो दूसरे कार्ड के परिणाम पर इसका प्रभाव पड़ता है।

5. कुल संभावनाओं और favorable outcomes (Total Possible Outcomes and Favorable Outcomes)

• किसी भी घटना की प्रायिकता निकालने के लिए, हमें पहले उस घटना के सभी संभावित परिणामों की संख्या और फिर उन परिणामों की संख्या को गिनना होता है जो हमारे इच्छित या favorable outcome से मेल खाते हैं।

6. संयुक्त और परिभाषित प्रायिकता (Compound and Conditional Probability)

• संयुक्त प्रायिकता: दो या दो से अधिक घटनाओं के होने की प्रायिकता।
• परिभाषित प्रायिकता: एक घटना के घटित होने की शर्त पर दूसरी घटना के घटित होने की प्रायिकता।

7. उदाहरण (Examples)

• सिक्का उछालना: एक सिक्का उछालने पर प्रायिकता 1/2 होती है।
• कार्ड निकालना: एक 52-पत्तों वाले पैक से एक पत्ते को निकालने पर प्रायिकता होती है कि वह कार्ड किसी विशेष प्रकार का हो।

निष्कर्ष

'प्रायिकता' अध्याय छात्रों को घटनाओं के घटित होने की संभावना की गणना करने के सिद्धांतों और विधियों को समझने में मदद करता है। यह उनके गणितीय कौशल को बढ़ाता है और निर्णय लेने में सहायक होता है।