बिहार बोर्ड कक्षा 10 वी गणित - अध्याय 6: त्रिभुज की NCERT Book

'त्रिभुज' अध्याय गणित में ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण भाग है। यह त्रिभुजों के प्रकार, उनके गुण, और उनकी समानता के सिद्धांतों को समझाने के साथ-साथ उनके अनुप्रयोगों पर केंद्रित है। यह अध्याय छात्रों को त्रिभुजों की विभिन्न विशेषताओं को गहराई से जानने और उनके साथ समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

मुख्य बिंदु

त्रिभुज की परिभाषा

• एक ऐसा बहुभुज जिसमें तीन भुजाएँ, तीन कोण, और तीन शीर्ष होते हैं।
• कुल आंतरिक कोणों का योग: $180^\circ$।

त्रिभुजों के प्रकार

1. भुजाओं के आधार पर:
   • समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle): सभी भुजाएँ समान।
   • समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle): दो भुजाएँ समान।
   • विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle): सभी भुजाएँ भिन्न।
2. कोणों के आधार पर:
   • समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle): एक कोण $90^\circ$।
   • मुकोण त्रिभुज (Acute-Angled Triangle): सभी कोण $90^\circ$ से छोटे।
   • अधिकोण त्रिभुज (Obtuse-Angled Triangle): एक कोण $90^\circ$ से बड़ा।

त्रिभुजों की समानता (Similarity of Triangles)

• दो त्रिभुज समान होते हैं यदि:
  1. AAA (Angle-Angle-Angle): तीनों कोण समान हों।
  2. SSS (Side-Side-Side): तीनों भुजाओं का अनुपात समान हो।
  3. SAS (Side-Angle-Side): दो भुजाओं का अनुपात समान हो और उनके बीच का कोण समान हो।

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

• केवल समकोण त्रिभुज के लिए लागू।
• सिद्धांत: $\text{(कर्ण)}^2 = \text{(आधार)}^2 + \text{(लंब)}^2$।

त्रिभुज से संबंधित परिणाम

1. समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनके संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।
2. समद्विबाहु त्रिभुज में कोण समद्विभाजक भुजा को समान दो भागों में विभाजित करती है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

• हरॉन का सूत्र (Heron's Formula):
  यदि भुजाएँ $a$, $b$, और $c$ हैं, तो क्षेत्रफल:
  $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
  जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ अर्ध परिमाप है।

व्यवहारिक उपयोग

• वास्तुकला और इंजीनियरिंग।
• सर्वेक्षण और मानचित्रण।
• भौतिकी में बलों और उनके घटकों का अध्ययन।

निष्कर्ष

'त्रिभुज' अध्याय त्रिभुजों के गुणों और उनके अनुप्रयोगों की समझ को मजबूत करता है। यह न केवल परीक्षाओं में, बल्कि वास्तविक जीवन की ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में भी सहायक है।