बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 10 सरल रेखाएँ दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1 बिन्दु ( 2, 23 ) से होकर जाने वाली तथा x - अक्ष से 75 ० के कोण पर झुकी हुई रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
हल :
रेखा का x - अक्ष से झुकाव = 75 ०
रेखा की प्रवणता m = tan = tan 75 ० = tan ( 45 ० + 30 ० ) = tan 45 ० + tan 30 ० 1 - tan 45 ० . tan 30 ०
1 + 1 3 1 - 1 1 3 = 3 + 1 3 - 1
दिया है की रेखा बिन्दु ( 2, 23 ) से होकर जाती है |
अंतः सूत्र y - y 1 = m ( x - x 1 ) से रेखा का समीकरण निमनलिखित है |
y - 2 3 = 3+1 3 -1 ( x - 2 ) या ( y - 2 3 ) ( 3 -1 ) = ( 3+1 ) ( x - 2 )
या y ( 3 -1 ) - 2 3 ( 3 -1 ) = x ) - 2 ( ( 3+1 )
या y ( 3 -1 ) - 6 + 2 3 = x ( 3+1 ) - 2 3 - 2
या x ( 3+1 ) - y ( 3 -1 ) = 4 3 - 4
या x ( 3+1 ) - y ( 3 -1 ) = 4 ( 3 - 1 )
प्रश्न 2 बिन्दुओ ( 3 , 4 ) तथा ( - 1, 2 ) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लंब समद्वि भाजक का समीकरण ज्ञात कीजिए |
हल
माना बिन्दुओ A ( 3, 4 ) तथा B ( -1, 2 ) को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB है तब,
रेखाखण्ड AB की प्रवणता M = 2 - 4 - 1 - 3 प्रवणता = y 2 - y 1 x 2 - x 1
= -2 -4 = 1 2
रेखाखण्ड AB के लंब समदीभाजिक की प्रवणता m = -1 M = - 2
माना रेखाखण्ड AB का मध्य - बिन्दु P है तब ,
बिन्दु P के निर्देशांक = [ 3 + ( - 1 ) 2 ‘ 4 + 2 2 ] = [ 2 2 , 6 2 ] = ( 1 , 3 )
इस प्रकार लंब संदीभाजिक बिन्दु P ( 1, 3 ) से होकर जाता है तथा उसकी प्रवणता - 2 है |
अंतः सूत्र y - y 1 = m ( x - x 1 ) से AB के मध्य संदीभाजिक का समीकरण ;
y - 3 = - 2 ( x - 1 ) या 2 x + 5 y = 3
प्रश्न 3 ज्ञात कीजिए की बिन्दु ( 4, 1 ) से बिन्दुओ ( 2, - 1 ) तथा ( 6, 5 ) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर खिचा गया लंब उसे किस अनुपात में विभाजित करता है |
हल
प्रश्न 4 - सिद्ध कीजिए कि बिन्दुओं P (4, 0) तथा Q (0, – 3) से होकर जाने वाली सरल रेखा का समीकरण 3x - 4 y = 12 है।
हल: सूत्र y - y1 = y2- y1x2- x1(x - x1)से, -
बिन्दुओं P (4, 0) तथा Q (0, - 3) से होकर जाने वाली सरल रेखा का समीकरण :
y - 0 = -3-00-4(x-4)
3x - 4 y = 12
प्रश्न 5 - उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X-अक्ष तथा Y-अक्ष पर क्रमशः -5 इकाई तथा 7 इकाई के अन्तः खण्ड काटती है।
हल: रेखा द्वारा X- अक्ष पर काटा गया अन्तः खण्ड a = - 5 इकाई
तथा
Y- अक्ष पर काटा गया अन्तः खण्ड b = 7 इकाई
अतः सूत्र x/a + y/b = 1 से रेखा का समीकरण निम्नलिखित है :
x/-5 +y/7 = 1
या -7x+5y = 35
7x - 5 y + 35 = 0
प्रश्न 6 - a तथा b के मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरणों a x + by + 8 = 0 तथा 3 x - 4 y = 12 से एक ही रेखा निरूपित होती है।
हल: दिए हुए समीकरण : ax + by + 8 = 0
3x - 4 y = 12
3x - 4 y - 12 = 0
उक्त समीकरणों से एक ही रेखा निरूपित होती है,
दोनों समीकरणों से समान पदों के गुणांकों में अनुपात समान होना चाहिए। तथा b
a3 = b-4 = 8-12
a3 = 8-12 ,b-4 = 8-12
अतः
a = - 2
तथा b = 8/3
प्रश्न 7 - रेखा के समीकरण 6 x + 3 y - 5 = 0 को प्रवणता अन्तः खण्ड रूप में रूपान्तरित कीजिए तथा रेखा की प्रवणता एवं Y-अक्ष पर काटा गया अन्तः खण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा का समीकरण :
6 x + 3y - 5 = 0
3 y = - 6x + 5
या
y = - 2x + 5 / 3 ……………(1)
यह दी हुई रेखा के समीकरण का प्रवणता अन्तः खण्ड रूप है।
समीकरण (1) की तुलना y = m x + c से करने पर, m = - 2 अतः रेखा की प्रवणता = -2
तथा
रेखा द्वारा Y-अक्ष पर काटा गया अन्तः खण्ड = 5 / 3 इकाई ।
प्रश्न 8 - उन रेखाओं का ढाल ज्ञात कीजिए जो (3,-2 )और (7,-2 ) बिंदुओं से होकर जाती है |
हल:
(3,-2 )और (7,-2 ) बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा का ढाल
m = -2-(-2)7-3 = 0/4 = 0
प्रश्न 9 - उन रेखाओं का ढाल ज्ञात कीजिए जो धन x - अक्ष से 60 का कोण बनती है |
हल :
यहाँ रेखा का झुकाव = 60
इसलिए रेखा का ढाल = m = tan 60 = 3
प्रश्न 10 - (-2, 6) और (4, 8) बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा, (8, 12) और (x, 24) बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा पर लंब है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(-2,6) और (4,8) बिदुओं से जाने वाली रेखा की ढाल
m1= 8-6 4-(-2 ) =1/3
(8, 12) और (x, 24) बिंदुओं से जाने वाली रेखा की ढाल
m2 = 24-12 x -8 = 12 x - 8
क्योंकि दोनों रेखाएँ लंब है इसलिए m1m2 = - 1. जिससे प्राप्त होता है।
1 3 . 12 x - 8 = -1
x = 4.
प्रश्न 11 - तीन बिंदु P (h, k), Q (x1, y1 ) और R (x1 ,y1) एक रेखा पर हैं। दिखाइए
(h - x1 ) (y 2 - y1) = (k - y1 ) (x2 – x1 )
हल :
क्योंकि बिंदु P, Q और R संरेख हैं, हम पाते है
PQ की ढाल = QR की ढाल
अर्थात् -
y1-k x1-k = y2 -y1 x2 -x1
या
(h – x1 ) (y2 – y1 ) = (k - y1) (x2 – x1)
प्रश्न 12 - (-2, 3) से जाने वाली ढाल -4 की रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ m =- 4 और दिया बिंदु (x ,y ) = (- 2,3) है।
उपर्युक्त बिंदु-ढाल रूप सूत्र से दी रेखा का समीकरण y - 3 = - 4 (x + 2) या
4x + y + 5 = 0, जो अभीष्ट समीकरण है।
प्रश्न 13 - बिंदुओं (1.-1) और (3, 5) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।
हल:
यहाँ x1 = 1, y1 = -1, x2 = 3 और y2 = 5, दो बिंदु रूप सूत्र के प्रयोग से रेखा का समीकरण, हम पाते हैं
y-(-1)= 5 -(- 1) 3-1 (x-1)
- 3x + y + 4 = 0, जो अभीष्ट समीकरण है।
प्रश्न 14 - 10. एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x- और y-अक्ष से क्रमश: 3 और 2 के अंत: खंड बनाती है।
हल :
यहाँ a = - 3 और b = 2.अंत:खंड रूप से रेखा का समीकरण
y/ -3+ y/2 =1
या 2x-3y+6=0
प्रश्न 15 - रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिंदु से लॉबिक दूरी 4 इकाई और धन x-अक्ष तथा लंब के बीच कोण 15° है।
हल:
यहाँ हमें दिया है p= 4 और = 15°
अब cos 15° = (√3+1 )/ 2√2 , sin 15° = (√3-1)/2√2 (क्यों?) 1
लंबरूप से रेखा का समीकरण x cos 15° + y sin 15° = 4 या
√3+12√2. x + √3-12√2. y = 4
या (√3+1) x + (√3-1) y = 8√2
है। यही अभीष्ट समीकरण है।
