बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 10 सरल रेखाएँ लघु उत्तरीय प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. (6,-4) और (3,0) बिन्दुओ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ?
हल :
हम जानते है कि
दो बिन्दुओ के दूरी = (x1-x2)2+(y1-y2)2
=(6-3)2+(-4-0)2
=(3)2+(-4)2
=9+16
=25
= 5 इकाई है
प्रश्न 2 . x-अक्ष और (3, -1) और (4, -2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A(3, -1), B(4, -2) को मिलाने वाली रेखा AB की ढाल = 
यदि x-अक्ष और AB के बीच से कोण हो, तो
tan θ = -1 = tan 135°
θ = 135°.
प्रश्न 3. x-अक्ष और y-अक्ष के समीकरण लिखिए।
हल:
x-अक्ष का समीकरण y = 0.
तथा y-अक्ष का समीकरण x = 0.
प्रश्न 4 . ढाल 1/2 और बिन्दु (-4, 3) से जाने वाली।
हल:
ढाल m = 
अभीष्ट रेखा का समीकरण
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 
2y – 6 = x + 4
x – 2y + 10 = 0.
प्रश्न 5. बिन्दु (0, 0) से जाने वाली और ढाल m वाली।
हल:
दिया है : बिन्दु (0, 0), ढाल = m
ढाल m, तथा (x1, y1) से जाने वाली रेखा का समीकरण
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = m(x – 0)
अतः अभीष्ट समीकरण y = mx.
प्रश्न 6. मूल बिन्दु के बाईं ओर ४-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल -2 वाली।
हल:
मूल बिन्दु से बाईं ओर 3 इकाई की दूरी पर स्थित बिन्दु (-3, 0) होगा तथा ढाल m = – 2 m तथा (x1, y1) के द्वारा, रेखा का समीकरण,
y – y1 = (x – x1)
यहाँ x1 = -3 तथा y1 = 0 रखने पर,
y – 0 = -2 (x + 3) यो
y = -2x – 6
2x + y + 6 = 0.
प्रश्न 7. एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों से समान अंत:खण्ड काटती है और बिन्दु (2, 3) से जाती है।
हल:
माना रेखा AB बिन्दु P(2, 3) से होकर जाती है और निर्देशांक अक्षों पर समान अंत:खंड बनाती है।
OA = OB
∠BAO = 45°
∠BAX = 135°
AB की ढाल, m = tan 135° = -1
रेखा का समीकरण, y – y1 = m(x – x1)
जहाँ x1 = 2, y1 = 3 तथा m = -1
y – 3 = -1 (x – 2)
x + y – 5 = 0
x + y = 5.
प्रश्न 8. k के मान ज्ञात कीजिए जब कि रेखा (k – 3) x – (4 – k²) y + k² – 7k + 6 = 0
मूल बिन्दु से जाती है।
हल :
यदि रेखा मूल बिन्दु से जाती है तो (0, 0) इसके समीकरण को संतुष्ट करेगा।
0 – 0 + k² – 7k + 6 = 0 या (k – 6) (k- 1) = 0 या k = 1, 6.
प्रश्न 9. उन रेखाओं का ढाल ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (3,-2) & (-1,4) बिंदुओं से होकर जाती |
हल :
(3,-2) & (-1,4) बिंदुओं से होकर जाने वाले रेखा का ढाल =
m = 4-(-2)-1-3 = 6 -4 = - 3 2 है
प्रश्न 10. उन रेखाओं का ढाल ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (3,-2) & (7,-2) बिंदुओं से होकर जाती
हल
(3,-2)& (7 ,-2) बिंदुओं से होकर जाने वाले रेखा का ढाल =
m = -2-(-2)7 -3 =0 4 =0 है
प्रश्न 11. उन रेखाओं का ढाल ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (3,-2) &( 3,4) बिंदुओं से होकर जाती
हल
(3,-2)& (3 ,4) बिंदुओं से होकर जाने वाले रेखा का ढाल =
m = 4-(-2)3 -3 =6 0 ,जो की परिभाषित नहीं है
प्रश्न 11. धन x-अक्ष से 600का कोण बनाती है |
हल
यंहा रेखा का झुकाव = 600|इसलिए ,रेखा का ढाल
m=tan600= 3 है
प्रश्न 12 यदि दो रेखाओ के बीच का कोण 4 है और एक रेखा की ढाल 12 है तो दूसरी रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए
हल
हम जानते है कि m1 और m2 ढाल वाली दो रेखाओ के बीच न्युनकोण इस प्रकार है की
tan =m2-m1
प्रश्न 13 (-2 , 6) और (4 , 8) बिन्दुओ को मिलने वाली रेखा ,(8 , 12 ) और (x , 24 ) बिंदुओ को मिलाने वाली रेखा पर लंब है x का मान ज्ञात कीजिए
हल
(-2 , 6) और (4 , 8) बिन्दुओ से जाने वाली रेखा की ढाल m 1 = 8 -64-(-2) = 2 6 = 1 3
(8 , 12 ) और (x , 24) बिन्दुओ से जाने वाली रेखा की ढाल m 2 = 24 -12 x -8 = 12 x -8
क्योंकि दोनों रेखाए लंब है इसलिए , m 1m 2 =-1 ,जिससे प्राप्त होता है 1 3 12 x -8 =-1 या x =4 ,
प्रश्न 14 तीन बिन्दु P (h, k ), Q (x 1, y1) और R (x 2,y 2 ) एक रेखा पर है | दिखाइए
( h -x 1) ( y2 -y 1) = ( k - y 1 ) ( x 2,- x 1, )
हल
क्योंकि बिन्दु P, Q और R संरेख है हम पाते है
PQ की ढाल =QR की ढाल अर्थात y 1 -kx 1 -h = y 2 -y 1 x 2 -x 1
या = y 1 -kh -x 1 = y 2 -y 1 x 2 -x 1 ,
या ( h -x 1) ( y2 -y 1) = ( k - y 1 ) ( x 2,- x 1, )
प्रश्न 15 (-2,3) से जाने वाली ढाल -4 की रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
हल
यंहा m = -4 और दिया बिन्दु (x 0 , y 0 ) = (-2,3) है | उपर्युक्त बिन्दु ढाल रूप सूत्र (1) से दी रेखा का समीकरण y - 3 = -4 (x +2) या 4 x +y +5 =0 , है जो
अभीष्ट समीकरण है |
प्रश्न 16 बिन्दुओ (1 , -1 )और (3 , 5) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए |
हल
यंहा x 1 = 1 , y 1 = -1, x 2 = 3 और y 2 = 5 , दो बिन्दु रूप सूत्र ( 2 ) के प्रयोग से रेखा का समीकरण, हम पाते है ,
y -(-1) = 5 - (-1)3-1 (x -1)
-3 x + y + 4 = 0 , जो अभीष्ट समीकरण है |
प्रश्न 17 एक रेखा का समीकरण ज्ञात जो x - और y -अक्ष से क्रमश: -3 और 2 के अंत:खंड बनाती है |
हल
यंहा a = -3 और b = 2 उपर्युक्त अंत:खंड रूप (5) से रेखा का समीकरण
x -3 +y 2 = 1 या 2 x - 3 y + 6 = 0
प्रश्न 18 रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरी 4 इकाई और धन x - अक्ष तथा लंब के बीच कोण 15 डिग्री है |
हल
यंहा हमे दिया है p = 4 और = 15 डिग्री
अब cos 15 o = 3+1 2 2 और
sin 15 ० = 3-1 2 2 ( क्यों )
उपर्युक्त लंब रूप ( 6 ) से रेखा का समीकरण
x cos15 ० + y sin 15 ० = 4 या 3+1 2 2 x + 3-1 2 2 y = 4 या (3+1) x + ( 3-1 ) y = 8 2 है यही अभीष्ट समीकरण है |
प्रश्न 18 - रेखा x - 2 y + 3 = 0 पर लंब और बिंदु (1,-2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखा x- 2 y + 3 = 0 को
y==x/2 + 3/2 लिखा जा सकता है।
रेखा की ढाल m = 1/2. है। इसलिए, रेखा के लंब रेखा की ढाल
m1= - 1m2 = - 2
ढाल - 2 वाली और बिंदु (1, - 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण y-(−2) =-2(x-1) या y= - 2x, है, जो अभीष्ट समीकरण है।
प्रश्न 19 - समांतर रेखाओं 3x – 4y + 7 = 0 और 3x – 4y + 5 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ_A = 3, B = - 4, C1 = 7 और C2 = 5. इसलिए, अभीष्ट दूरी
d = |7-5|32-42 = 25
प्रश्न 20 - उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखाओं x = - 2 एवं x = 6 से समदूरस्थ है।
हल:
दी हुई रेखाएँ x = - 2 एवं x = 6, दोनों Y-अक्ष के समान्तर हैं तथा अभीष्ट रेखा इन रेखाओं से समदूरस्थ हैं,
अभीष्ट रेखा भी Y-अक्ष के समान्तर है तथा इसकी
Y-अक्ष से दूरी =12 (- 2 + 6) = 2 इकाई =
अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण : x = 2
प्रश्न 20 - उस रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए जो X- अक्ष की धन दिशा से वामावर्त क्रम में 3/4 माप का कोण बनाती है।
हल:
अभीष्ट प्रवणता = tan3/4
= tan(-/4 )
= tan/4
= -1
प्रश्न 21 - उस रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु तथा बिन्दुओं P (0, – 4) एवं B (8, 0) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य-बिन्दु से होकर जाती है।
हल:
रेखाखण्ड PB के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक = (0+8/2 - 4+0/2)/ 2 = (4,-2)
अतः मूलबिन्दु (0, 0) तथा बिन्दु (4, – 2) से होकर जाने वाली
रेखा की प्रवणता = -2-0 4-0 = -2 4 = - 1 2
प्रश्न 22 - उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु से होकर जाती है तथा धन X- अक्ष से 120°माप का कोण बनाती है।
हल:
रेखा द्वारा धन X- अक्ष से बनाया गया कोण = 120° रेखा की प्रवणता m = tan = tan 120° = tan (180° – 60° ) = - tan 60° = - √3
अत: सूत्र y = m x से रेखा का समीकरण निम्नलिखित है :
x√3 + y = 0
प्रश्न 23 - मूलबिन्दु के ऊपर Y-अक्ष को 2 इकाई दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली तथा X- अक्ष की धन दिशा से 30 का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा मूलबिन्दु के ऊपर Y - अक्ष को 2 इकाई दूरी पर प्रतिच्छेद करती है,
रेखा द्वारा Y - अक्ष पर काटा गया अन्तः खण्ड c = 2
रेखा द्वारा X- अक्ष की धन दिशा से बनाया गया कोण = 30°
रेखा की प्रवणता m = tan = tan 30° = 1/3
अत: सूत्र y = mx + c से रेखा का समीकरण :
y = 1/3x + 2
x - y3 + 23 = 0
प्रश्न 24 उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x - अक्ष से कोण tan -1 3 बनाती है तथा y - अक्ष की ऋण दिशा में 4 इकाई का अंत:खंड काटती है |
हल
रेखा x -अक्ष से बनाया गया कोण = tan -1 3
रेखा की प्रवणता m = tan = tan ( tan -1 3 ) = 3
दिया है , रेखा dyara y - अक्ष पर काटा गया अंत:खंड c = - 4
अंतः सूत्र y = mx + c से रेखा का समीकरण निम्नलिखित है :
y = 3 x - 4 या 3 x - y = 4
प्रश्न 25 उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y - अक्ष पर 4 इकाई का अंत:खंड काटती है तथा बिन्दुओ (2 ,- 3) और ( 4, 2 ) को मिलाने वाली रेखा पर लंब है |
हल
बिन्दुओ (2 ,- 3) और ( 4, 2 ) को मिलाने वाली
रेखा की प्रवणता = 2 - ( - 3 ) 4 - 2 = 2 + 32 = 5 2 .
अभीष्ट रेखा उक्त बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा पर लंब है |
अभीष्ट रेखा की प्रवणता m = - 2 5
दिया है की अभीष्ट रेखा y - अक्ष पर काटा गया अंत:खंड c = 4
अंतः सूत्र y = m x + c से अभीष्ट रेखा का समीकरण : y = - 2 5 x + 4
या 5 y = - 2 x + 20 या 2 x + 5 y = 20
