बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 11 शंकु परिच्छेद दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1. x 249 + y 236 = 1.
हल : दीर्घवृत्त का समीकरण x 249 + y 236 = 1.
49 36 a2 = 49, b2 = 36 a = 7, b = 6 दीर्घ अक्ष, x अक्ष के अनुदिश है।
2 = ad - 62 = 49 - 36 = 13 c=√13
नाभियों के निर्देशांक (± c, 0) या (° √13, 0) शीर्षों के निर्देशांक (a, 0) या ( 7,0) लघु अक्ष की लंबाई = 26 = 2 × 6 = 12
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 × 7 = 14
उत्केंद्रता = e = √13 7 a
नाभिलंब जीवा की लंबाई 262 a 2 x 36 72 7 7
प्रश्न 2 उस दीर्घवृत का सामीकरण ज्ञात कीजिए जिसका दीर्घIक्ष x - अक्ष के अनुदिश तथा जो बिन्दुओ ( 4, 3 ) एंव
( -1, 4 ) से होकर जाता है |
हल
दिया है की , दीर्घवृत का दीर्घIक्ष x - अक्ष के अनुदिश है
माना दीर्घवृत का समीकरण : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ............ ( 1 )
दीर्घवृत बिन्दुओ ( 4, 3 ) एंव ( -1, 4 ) से होकर जाता है |
4 2 a 2 + 3 2 b 2 = 1 16 a 2 + 9 b 2 = 1 ... ( 2 )
(-1 ) 2 a 2 + 4 2 b 2 = 1 1 a 2 + 16 b 2 = 1 ( 3 )
समीकरण ( 2 ) तथा ( 3 ) को हल करने पर , a 2 = 247 7 तथा b 2 = 247 15
समीकरण ( 1 ) में a 2 तथा b 2 के मान रखने पर ,
, दीर्घवृत का अभीष्ट समीकरण :
x 2 247 7 + x 2 247 15 या 7 x 2 + 15 y 2 = 247
प्रश्न 3 अतिपरवलय 7 x 2 - 7 x 2 + 5 4 x = 28 y + 116 की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए |
हल
अतिपरवलय का समीकरण : 7 x 2 - 7 x 2 + 5 4 x - 28 y - 116 = 0
( 7 y 2 - 28 y ) - ( 9 x 2 - 5 4 x ) - 116 = 0
7 { ( y 2 - 4 y + 4 ) - 4 } - 9 { ( x 2 - 6 x + 9 ) - 9 } - 116 = 0
7 ( y - 2 )2 - 28 - 9 ( x - 3 )2 + 81 - 116 = 0
7 ( y - 2 )2 - 9 ( x - 3 )2 = 63
9 ( x - 3 )2 - 7 = - 63
( x - 3 )2 7 - ( y - 2 )2 9 = - 1
प्रश्न 4 x2100 + y 2 400 = 1
हल: दीर्घवृत्त का समीकरण x2100 + y 2 400 = 1
a2 = 400 , b2 = 100
a = 20 , b = 10
c2 = a 2 - b 2 = 400 - 100 = 300
c = 10 3
दीर्घ अक्ष, y- अक्ष के अनुदिश है
नाभियों के निर्देशांक (0, c) या (0, 10√3)
शीर्षों के निर्देशांक (0, a) या (0, 20)
दीर्घ अक्ष की लंबाई 2a = 2 x 20 = 40
लघु अक्ष की लंबाई 2 b = 2 × 10 = 20
नाभिलंब जीवा की लंबाई = 2 b 2 a = 2 100 20 = 10
उत्केंद्रता = e = c a = 10 3 20 = 3 2
प्रश्न 5 36 x² + 4 y² = 144.
हल
दीर्घवृत्त का समीकरण 36 x² + 4 y² = 144
या x2 4 + y 2 36 = 1
a2 = 36 , b 2 = 4
a=6 , b = 2
C² = a2 - b 2 = 36 - 4 = 32
c = 4√2
दीर्घवृत्त का अक्ष y - अक्ष के अनुदिश है
नाभियों के निर्देशांक (0, c) या (0, 4√2 )
शीर्षों के निर्देशांक (0, a ) या (0, 6 )
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2 a = 2 6 = 12
लघु अक्ष की लंबाई 2b = 2 x 2 = 4
नाभिलंब जीवा की लंबाई =2 b 2 a = 2 4 6 = 4 3
उत्केन्द्रता = e = c a = 4√2 6 = 2 √2 3
प्रश्न 6 16x² + y² = 16.
हल: दीर्घवृत्त का समीकरण 16x² + y² = 16.
या x 2 1 + y 2 16 = 1
. दीर्घवृत्त का अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
a ² = 16, b² = 1
a = 4, b = 1
c 2 = a2 - b ² = 16 - 1 = 15
C == √15
नाभियों के निर्देशांक (0, c) या (0, √15 )
शीर्षों के निर्देशांक (0, a) या (0 ,4)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2 a = 2 x 4 = 8
लघु अक्ष की लंबाई = 2 b = 2 × 1 = 2
नाभिलंब जीवा की लंबाई: = 2 b 2 a
2x1 4 = 1 2
उत्केंद्रता = e = c a = √154
प्रश्न 7 4x ²+ 9y ² = 36.
हल : दीर्घवृत्त का समीकरण 4x ²+ 9y ² = 36.
या x 2 9 + y 2 4 = 1
दीर्घ अक्ष, x- अभ के अनुदिश है।
a ² = 9, b ² = 4
a = 3 , b = 2
c ² = a ² -b ² = 9 - 4 = 5
C = √ 5
नाभियों के निर्देशांक (± c, 0) या (± √5, 0)
शीर्षों के निर्देशांक (± a , 0) या ( ± 3 ,0)
दीर्घ अक्ष की लंबाई = 2a = 2 × 3 = 6
लघु अक्ष की लंबाई = 2b = 2 × 2 = 4
नाभिलंब जीवा की लंबाई = 2 b 2 a = 2 4 3 = 8 3
उत्केंद्रता = e= c / a = √5/3
प्रश्न 8 शीर्ष (2,0 ) , नाभियाँ (3 ,0 ) अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए |
प्रश्न 9 नाभियाँ ( 5 ,0) अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 8.
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a = 8
a = 4
a2= 16
प्रश्न 10 नाभियाँ (0. ±13), संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 24.
प्रश्न 10 नाभियाँ (35 , 0), नाभिलब जीवा की लम्बाई = 8.
प्रश्न 11 नाभियाँ .( ±4 , 0 ), नाभिलंब जीवा की लम्बाई 1 2. है
अनुप्रस्थ अक्ष,x - अक्ष के अनुदिश है
और c = 4 या c2 = 16
या c2 = a 2 + b 2 = 16 ( 1 )
नभिलंब जीवा की लम्बाई = 2 b 2 a = 12
b 2 = 6 a ( 2 )
समीकरण ( 1 ) व ( 2 ) से ,
a 2 + 6 a - 16 = 0
या ( a + 8 ) ( a - 2 ) = 0
a = - 8 या a = 2
परंतु a = - 8 , a = 2 a 2 = 4
b 2 = 6 a = 6 2 = 12
अतिपरवलय का समीकरण x 2 4 - y 2 12 = 1
प्रश्न 12 नाभियाँ ( 0 , 10 ) है तथा ( 2 , 3 ) से होकर जाता है |
हल
नाभियाँ ( 0 , 10 )
अनुप्रस्थ अक्ष,y - अक्ष के अनुदिश है
और c = 10 या c 2 = 10 = a 2 + b 2
a 2 + b 2 = 10
मान लीजिए अतिपरवलय का समीकरण
y 2 a2 - x 2 b 2 = 1
यह बिन्दु ( 2, 3 ) से जाता है
9 a 2 - 4 b 2 1 या 9 b 2 - 4 a 2 = a 2 . b 2
समीकरण 1 में से b 2 का मान रखने पर
9 ( 10 - a 2 ) - 4 a 2 = a 2 ( 10 - a 2 )
या 90 - 9 a 2 - 4 a 2 = 10 a 2 - a 4
a 4 - 23 a 2 + 90 = 0
या ( a 4 - 18 ) ( a 2 - 5 ) = 0
जब a 2 = 1 8 , b 2 = 10 - a 2
= 10-18 = - 8
= - ve
अंतः a 2 = 18
जब a 2 = 5 , b 2 = 10 - 5 = 5
अतिपरवलय का समीकरण
y 2 a2 - x 2 b 2 = 1
या y 2 5 - x 2 5 = 1
प्रश्न 13 क्या बिन्दु ( 2,5 3, 5 ) वृत x 2 + y 2 = 25 के अंदर बाहर या वृत पर स्थित है
प्रश्न 14 उस वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र ( 2, 2 ) हो तथा ( 4 , 5 ) से जाता है
प्रश्न 15 नाभि के निर्देशांक परवलय का अक्ष नियता का समीकरण और नाभिलंब की जीवा ज्ञात कीजिए
y 2 = 12 x
हल
परवलय का समीकरण = y 2 = 12 x
y 2 = 4 a x से तुलना करने पर
4 a = 12 या a = 3
( 1 ) नाभि के निर्देशांक ( a , 0 ) या ( 3, 0 )
( 2 )परवलय का अक्ष o x
इसका समीकरण y = 0
(3 ) नियता का समीकरण x = - a अर्थात x = - 3
(4 ) नभिलंब जीव की लंबाई = 4 a = 12
प्रश्न 16
x 2 = 6 y
हल
परवलय का समीकरण = x 2 = 6 y
4 a =6 या a = 32
इसका अक्ष y - अक्ष है जिसका
समीकरण x = 0 है
नाभि f ( 0, a ) के निर्देशांक ( 0, 3 2 ) है |
नियता y = - a का समीकरण y = - 3 2
नभिलंब जीवा की लंबाई 4 a = 6
प्रश्न 17
y 2 = - 8 x
हल
परवलय का समीकरण = y 2 = - 8 x
4 a = 8 a = 2
(1) नाभि f (- a , 0 ) के निर्देशांक (-2, 0) ,
(2) परवलय का अक्ष x अक्ष
इसका समीकरण y = 0
(3) नियता x = a का समीकरण x = 2
(4) नाभिलंब जीवा की लंबाई = 4 a = 8
प्रश्न 18
x 2 = - 16 y
हल
परवलय का समीकरण = x 2 = - 1 6 y
4 a = 16 या a = 4
(1 ) नाभि f ( 0,- a ) के निर्देशांक ( 0, - 4 ) है |
(2) परवलय अक्ष का समीकरण x = 0
(3) नियता y = 0 का समीकरण y = 4
(4) नाभिलंब जीवा की लंबाई = 4 a = 16
प्रश्न 19
परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है
नाभि ( 6, 0 ) , नियता x = - 6
हल
परवलय का अक्ष x अक्ष y = 0
शीर्ष ( 0, 0 ) है नाभि के निर्देशांक ( 6, 0 )
परवलय का अक्ष x धन x - अक्ष के अनुदिश है
परवलय का समीकरण y 2 = 24 x
प्रश्न 20
नाभि ( 0 ,- 3 ) , नियता y = 3
हल
परवलय का अक्ष y - अक्ष है
शीर्ष ( 0, - 3 ) , ( 0, 3 ) का मध्य बिन्दु ( 0, 0 ) है नाभि ( 0, -3 ) से स्पस्ट होता है की परवलय की अक्ष o y के अनुदिश है
परवलय के समीकरण का रूप x 2 = - 4 a y
यंहा पर a = 3 4 a = 12
परवलय का समीकरण x = - 12 y
प्रश्न 20
शीर्ष ( 0, 0 ) नाभि ( 3, 0 )
हल
परवलय का अक्ष o x के अनुदिश
परवलय के समीकरण का रूप y = 4 a x
नाभि ( 3, 0 ) है
a = 3
4 a = 4 3 = 12
परवलय का समीकरण y2 = 12 x
प्रश्न 21
शीर्ष ( 0, 0 ) नाभि ( -2, 0 )
हल
परवलय का अक्ष o x के अनुदिश
नाभि ( -2, 0 ) है तो a = 2
4 a = 8
परवलय का रूप y 2 = - 4 a x
परवलय का समीकरण y 2 = - 8 a x
प्रश्न 22- 36 x2 + 4 y 2 = 144
दीर्घवृत्त में नाभियों और शीषों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभि जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्न 23-
दीर्घवृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जब
b = 3. c = 4 . केन्द्र मूल बिन्दु पर, नाभियाँ x- अक्ष पर है।
हल:
दीर्घ अक्ष, x- अक्ष के अनुदिश है।
c 2 = a 2 - b 2
या
16 = a 2 - 9
a 2 = 16 + 9 = 25
दीर्घवृत्त का समीकरण,
x225 + y29 = 9
प्रश्न 24-
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय x2 = 12y के शीर्ष को इसकी नाभिलंब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है |
हल:
परवलय का समीकरण x2 = 12y
नाभि के निर्देशांक (a , 0) है।
OF = 3 इकाई
नाभिलम्ब जीवा की लंबाई = 4a = 12
त्रिभुज POQ का क्षेत्रफल ½.OF PO
1/2 . 3 . 12
- 18 वर्ग इकाई ।
प्रश्न 25-
अतिपरवलय 9 x2 - 16 y 2 = 144 के लिए निम्नलिखित प्रत्येक को ज्ञात कीजिए
(a) अनुप्रस्थ तथा संयुग्मी अक्षों की लम्बाइयाँ
(b) उत्केन्द्रता
(c) नाभियाँ
(d) शीर्षो के निर्देशांक
(e) नाभिलम्ब
(f) नियताओं के समीकरण ।
हल: अतिपरवलय का समीकरण 9x2 - 16 x2 = 144
x216 + y 29 = 1
या
x2a2 + y 2b2 = 1
से तुलना करने पर,
a = 4 , b = 3
(a) अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a = 2 x 4= 8
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 2b = 2 x 3 = 6
(b) माना अतिपरवलय की उत्केन्द्रता e है।
e2 = 1+ b2 / a 2
e = 1+9/16
e = 25/16 = 5/4
अतः अतिपरवलय की उत्केन्द्रता = 5/4
(c) नाभियाँ = (ae, 0) = (± 5, 0)
(d) शीर्षों के निर्देशांक = (a , 0 )
(e) नभिलंब = 2 b2 a = 9/2
(f) नियताओं के समीकरण x = a / e = 16/5
