बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 11 शंकु परिच्छेद लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1 - केंद्र (0,0) तथा त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल: यहाँ h = k = 0. अतः वृत्त का समीकरण x 2 + y 2 = r 2 है।
प्रश्न 2 - h = -3, k = 2 और r = 4. वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए |
हल : यहाँ h = -3, k = 2 और r = 4. अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
(x+3)²+(y-2)² = 16 है |
प्रश्न 3 - वृत्त x 2 + y 2 + 8x + 10y - 8 = 0 का केंद्र तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
हल : दिया गया समीकरण
(x 2 + 8x) + (y 2 + 10y) = 8
अब कोष्ठकों को पूर्ण वर्ग बनाने पर
( x 2 + 8x +16 ) + ( y 2 + 10y + 25 ) = 8 + 16 + 25
या ( x 2 + 4 ) + ( y 2 + 25 ) = 49
या { x - ( - 4 ) { y - ( - 5 ) }2 = 7 2
अतः वृत्त का केंद्र ( -4 , - 5 ) व त्रिज्या 7 इकाई है।
प्रश्न 4 - बिंदुओं (2. - 2), और (3,4) से होकर जाने वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा x + y = 2 पर स्थित है।
हल : मान लीजिए कि वृत्त का समीकरण (x - h)2 + (y - k )2 =r 2 है।यह बिंदुओं (2 , - 2 ) और (3, 4) से जाता है। इसलिए हम पाते हैं कि
(2 - h)2 + (- 2 - k )2 =r 2 ....(1)
और (3 - h)2 + (4 - k )2 =r 2 ....(2)
तथा वृत्त का केंद्र रेखा x + y = 2, पर स्थित है, इसलिए
h+k = 2 ....(3)
समीकरण (1), (2) व (3), को हल करने पर, हम पाते हैं कि
h = 0.7, k = 1.3 और r 2 = 12.58
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
(x-0.7)²+(y-1.3)² = 12.58
प्रश्न 5 उस वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र ( 3, -2 ) तथा त्रिज्या 5 है |
हल वृत का केंद्र = ( 3 , - 2 ) तथा त्रिज्या 5
अतः सूत्र ( x - h )2+ ( y - k )2 = a 2 से अभीष्ट वृत का समीकरण :
( x - 3 )2 + { y - ( - 2 ) }2 = 5 2
( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 25
( x 2 - 6 x + 9 ) ( y 2 + 4 y +4 ) - 25 = 0
x 2 + y 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0
प्रश्न 6 - उस वृत का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र ( 3, -2 ) तथा जो बिन्दु ( 4, 5 ) से होकर जाता है |
हल :
वृत का केंद्र = ( 2 , 2 )
वृत बिन्दु ( 4, 5 ) से होकर जाता है
वृत की त्रिज्या = केंद्र ( 2, 2 ) तथा बिन्दु ( 4, 5 ) के बीच की दूरी
= ( 4 , 2 )2 + ( 5 - 2 )2
= 4 + 9 = 13
अतः सूत्र ( x - h )2+ ( y - k )2 = a 2 से अभीष्ट वृत का समीकरण
( x - 2 )2 + ( y - 2 )2 = 13
( x 2 - 4 x + 4 ) + ( x 2 - 4 y +4 ) - 13 = 0
x 2 + y 2 - 4 x - 4 y - 5 = 0
प्रश्न 7 - उस दीर्घवृत का समीकरण ज्ञात कीजिए , जिसके दीर्घ अक्ष की लंबाई 20 है तथा नाभियाँ ( 0, 5 ) हैं |
हल : क्योंकि नाभियाँ y - अक्ष पर स्थित है , इसलिए दीर्घवृत का समीकरण x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 के अनुरूप है |
दिया है a = दीर्घ अक्ष = 20 2 = 10
और सूत्र c 2 = a 2 - b 2 से प्राप्त होता है ,
5 2 = 10 2 - b 2 या b 2 = 75
अंतः x 2 75 + y 2 100 = 1
प्रश्न 8 - उस दीर्घवृत का समीकरण ज्ञात कीजिए , जिसके दरिघ अक्ष , x - अक्ष के अनुदिश है और ( 4, 3 ) तथा ( -1, 4 ) दीर्घवृत पर स्थित है |
हल दीर्घवृत के समीकरण का मानक रूप x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 है | चूंकि बिन्दु ( 4, 3 ) तथा ( -1, 4 ) दीर्घवृत पर स्थित है |
अंतः हमे प्राप्त होता है ,
16 a 2 + 9 b 2 = 1 ... ( 1 )
और 1 a 2 + 16 b 2 = 1 ( 2 )
समीकरण ( 1 ) व ( 2 ) को हल करने पर a 2 = 247 7 व b 2 = 247 15 प्राप्त होता है |
अंतः अभीष्ट समीकरण :
x 2 247 7 + y 2 247 15 = 1 या 7 x 2 + 15 y 2 = 247 है |
प्रश्न 9 - निम्नलिखितअतिपरवलयों के शीर्षों और नाभियों के निर्देशांकों , उत्केन्द्रता और नभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए |
x 2 9 - y 2 1 6 = 1
हल :
दिए गए समीकरण x 2 9 - y 2 1 6 = 1 का मानक समीकरण
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 से तुलना करने पर , हम पाते है की
a = 3 , b = 4 और c = a 2 + b 2 = 9 + 16 = 5
अंतः नाभियों के निर्देशांक ( 5 , 0 ) है और शीर्षों के निर्देशांक ( 3 , 0 ) है |
उत्केन्द्रता e = = c a = 5 3
नभिलंब जीवा की लंबाई = 2 b 2 a = 32 3
प्रश्न 10 .केंद्र (- a, - b) और त्रिज्या √(a 2- b 2) इकाई
हल: वृत्त का समीकरण.
(x + a) 2 + (y + b) 2 =(√(a2 - b2))2
x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + 2by + b 2 = a 2 - b 2
x 2 + y 2 + 2ax + 2by + 2b 2= 0
प्रश्न 11 - उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके व्यास के सिरे (2, 3) तथा (- 2, 4) हैं।
हल :
यहाँ x 1 = 2 , y 1 = - 3 x 2 = -2 , y 2 = 4
अतः सूत्र (x -x 1 ) (x - x 2 ) + (y -y 1 ) ( y - y 2 ) = 0 से ,
अभीष्ट वृत्त का समीकरण (x - 2) (x + 2) + (y + 3) (y - 4) = 0
( x 2 - 4 ) + ( y 2 - 4 y + 3 y - 12 ) = 0
x 2 + y 2 - y - 16 = 0
प्रश्न 12 - ज्ञात कीजिए की परवलय y 2 = 18 x के किस बिन्दु पर कोटी भुज की तीन गुनी है |
हल :
माना परवलय y 2 = 18 x पर स्थित अभीष्ट बिन्दु ( h, 3 h ) है |
तब , ( 3h ) 2 = 18 h या 9 h 2 = 18 h या h = 2
अंतः अभीष्ट बिन्दु = ( h , 3 h ) = ( 2, 6 )
प्रश्न 13 - y 2 = 5 x की नाभि के निर्देशांक तथा नियता का समीकरण ज्ञात कीजिए |
हल
परवलय का समीकरण y 2 = 5 x
यह समीकरण y 2 =4 a x के रूप का है
तुलना करने पर 4 a = 25 या a = 25 4
अतः नाभि के निर्देशांक (a , 0 ) = (25/4, 0 )
नियता का समीकरण x = -a या x = 25/4 या 4 x +25 = 0
प्रश्न 14 - परवलय y2 = = - 8x की नाभि के निर्देशांक, तथा नियता का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय का समीकरण y2 = = - 8x
यह समीकरण y2 = = - 4 a x के रूप का है
तुलना करने पर, 4 a = 8 या a = 2
अतः नाभि के निर्देशांक = ( - a, 0) = ( - 2, 0)
अक्ष का समीकरण y = 0
तथा नियता का समीकरण x - a = 0 या x - 2 = 0
प्रश्न 15 - परवलय x 2 = 6 y की नाभि के निर्देशांक, अक्ष तथा नियता के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय का समीकरण : x 2 = 6 y
यह समीकरण x 2 = 4 a yके रूप का है।
तुलना करने पर, 4a= 6 या a = 6 4 = 3 2
अंतः नाभि के निर्देशांक = (0, a) = [ 0, 3 2 ]
अक्ष का समीकरण : x = 0
तथा नियता का समीकरण : y+a= 0 या y + 3 2 = 0 या 2 y + 3 = 0
प्रश्न 16 - परवलय x = - 4 ay की नाभि के निर्देशांक, अक्ष एवं नियता के समीकरण तथा नाभिलम्ब ज्ञात कीजिए।
हल
परवलय का समीकरण x 2 = - 4 a y के रूप का है
तुलना करने पर , 4 a = 9 या a = 9 4
अंतः नाभि के निर्देशांक = ( 0, - a ) = [ 0, 9 4 ]
अक्ष का समीकरण x = 0
नियता का समीकरण y - a = 0 या y - 9 4 = 0 या 4 y - 9 = 0
तथा नभिलंब की लंबाई = 4 a = 9
प्रश्न 17 - रेखा 2 x +13 y + 52 = 0 , y - अक्ष को जिस बिन्दु पर काटती है |
हल :
उस बिन्दु पर x = 0 होगा , तब
2 0 + 13 y + 52 = 0
13 y = - 5 2
y = - 4
अंतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = ( 0, - 4 )
प्रश्न 18 - रेखा 2 x +7 y= 1 4 दौरा अक्षों पर कटे अंतः खंड ज्ञात कीजिए |
हल
रेखा 2 x +7 y = 1 4
दोनों ओर 14 से भाग देने पर , x 7 + y 2 = 1
तथा x a - y b = 1 की तुलना से ,
a = 7 , b = 2
x - अक्ष पर कटे अन्तः खंड की माप = 7 मात्रक
y - अक्ष पर कटे अन्तः खंड की माप = 2 मात्रक |
प्रश्न 19 - उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों की धन दिशाओ पर समान अंतखंड काटती है तथा बिन्दु
( 6, - 8 ) से होकर जाती है |
हल : माना अक्षों की धन दिशाओ से समान अंतःखंड काटने वाली रेखा का समीकरण x + y = a है |
यदि बिन्दु ( 6, - 8 ) से होकर जाती है |
6 + 8 = a
या a = 2
अंतः रेखा x + y = 2
या x + y - 2 = 0
प्रश्न 20 - उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर मूल बिन्दु से डाले गए लंब की लंबाई 7 है तथा लंब x - अक्ष से 135० का कोण बनाता है |
हल : मूल बिन्दु से डाले गए लंब की लंबाई, p = 7,
तथा x - अक्ष से झुकाव , = 135०
तब समीकरण ,
x cos + y sin = p
x cos 135० + y sin 135० = 7
-x 1 2 + y 1 2 = 7
- x + y = 7 2
- x + y - 7 2 = 0
या x + y + 7 2 = 0
प्रश्न 21 - रेखा 4 x - 5 y = 20 द्वारा निर्देशाक्षों पर कटे अंतःखंडों की माप ज्ञात कीजिए |
हल : रेखा 4 x - 5 y = 20
दोनों पक्षों में 20 से भाग देने पर ,
4 x 20 - 5 y 20 = 20 20
x 5 - y 4 = 1
या x 5 + y ( - 4 ) = 1
तथा x a + y b = 1 से तुलना करने पर a = 5 , b = - 4
x - अक्ष पर अंतखंड = 5
y - अक्ष पर अंतः खंड = - 4
प्रश्न 22 - केंद्र (0,2) और त्रिज्या 2 इकाई ।
हल:
यहाँ h = 0, k = 2 तथा r = 2 रखने पर,
वृत्त का समीकरण, (x - 0)2 + (y - 2)2 = 22
x2 + y2 – 4y + 4 = 4
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण, x2+ y2 – 4y = 0.
प्रश्न 23 - केंद्र (-2, 3) और त्रिज्या 4 इकाई ।
हल:
वृत्त का समीकरण (x + 2)2 + (y - 3)2 = 42
या (x2 + 4x + 4) + (y2 - 6y + 9) = 16
या x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0.
प्रश्न 24 - केंद्र (12,14) और त्रिज्या 112 इकाई ।
प्रश्न 25 - केंद्र (1, 1) और त्रिज्या √2 इकाई।
हल:
यहाँ h = 1 k = 1 तथा r = √2 तब
वृत्त का समीकरण,
(x - 1) 2 + (y - 1) 2 = (√2)2
(x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) = 2
x 2 + y 2 - 2x - 2y = 0
