बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 12 त्रि-विमीय ज्यामिति का परिचय दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
01- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिंदु 7i+7j+7k होकर जाती है तथा सदिशों 7i+4j-3k एवं i+j-7k के समांतर है |
उत्तर- बिंदु a=7i+7j+7k से जाने वाले तथा सदिशों b=7i+4j-3k एवंc=i+j-7k के समांतर समतल का समीकरण: r=a+tb+sc
r=7i+7j+7k+t7i+4j-3k+si+j-7k
r=7+7t+si+7+4t+sj+7-3t-7sk
02- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-7=y-3=z-4 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-7=y-3=z-4
x-71=y-31=z-41 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-71=y-31=z-41 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु7,3,4 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
03- बिन्दुओ 7i+3j-k ,i-7j+3kतथा 3i+4j-7kसे होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये|
उत्तर- बिंदु a=7i+3j-k,b=i-7j+3kतथा c=3i+4j-7k से होकर जाने वाली समतल समीकरण:r=a+tb-a+s c-a
r=7i+3j-k+ti-7j+3k-7i+3j-k+s3i+4j-7k-7i+3j-k
r=7i+3j-k+t-6i-10j+4k+s-4i+j-6k
r=7-6t-4si+3-10t+sj+-1+4t-6sk
04- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 17 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+4j+3k पर लम्ब है |
उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=17 इकाई
तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+4j+3k
इसलिए n=nn=i+4j+3k12+42+32
n=nn=i+4j+3k26
अतः समतल का समीकरण rn=p
ri+4j+3k26=17
ri+4j+3k=1726
05-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये
rs-7ti+3-tj+7s+tk=15
उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है
दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर
समतल का कार्तीय समीकरण xi+yj+zks-7ti+3-tj+7s+tk=15
s-7tx+3-ty+7s+tz=15
06- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-15=y-55=z-51है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-15=y-55=z-51
x-15=y-55=z-51 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-15=y-55=z-51 5,5,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,5,5 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 5,5,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=552+52+12 , m=552+52+12, n=152+52+12
l=251 , m=151, n=151
07-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये
rs-5ti+5-tj+5s+tk=15
उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है
दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर
समतल का कार्तीय समीकरण xi+yj+zks-5ti+5-tj+5s+tk=15
s-5tx+5-ty+5s+tz=15
08- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 14 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+4j+3k पर लम्ब है |
उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=14 इकाई
तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+4j+3k
इसलिए n=nn=i+4j+3k12+42+32
n=nn=i+4j+3k26
अतः समतल का समीकरण rn=p
ri+4j+3k26=14
ri+4j+3k=1426
09- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-16=y-6-6=z-61है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-16=y-6-6=z-61
x-16=y-6-6=z-61 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-16=y-6-6=z-61 6,-6,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,6,6 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 6,-6,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=662+62+12 , m=-662+62+12, n=162+62+12
l=673 , m=-673, n=173
10 - उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिंदु 2,-5,10से होकर जाती है तथा सदिश5i-3j+2k के समांतर है |
उत्तर- बिंदु a=2i-5j+10k से जाने वाली तथा सदिश b=5i-3j+2k के समांतर सरल रेखा का समीकरण : rb=ab
r5i-3j+2k=2i-5j+10k5i-3j+2k
r5i-3j+2k=
r5i-3j+2k=20i+46j+19k
11- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-5=y-5=z-5 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-5=y-5=z-5
x-51=y-51=z-51 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-51=y-51=z-51 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु5,5,5 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
12- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-8=y-8=z-8 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-8=y-8=z-8
x-81=y-81=z-81 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-81=y-81=z-81 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु8,8,8 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
13- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-8=y-8=z-2 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-8=y-8=z-2
x-81=y-81=z-21 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-81=y-81=z-21 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु8,8,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
14- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-42=y-24=z-24है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-42=y-24=z-24
x-42=y-24=z-24 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-42=y-24=z-24 2,4,4 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु4,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,4,4हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+42+42 , m=422+42+42, n=422+42+42
l=26 , m=46, n=46
15 -बिंदु 4,2,3 से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 3i+2j-2k के समांतर है |
उत्तर -बिंदु 4,2,3 का स्तिथि सदिश a=4i+2j+3k
रेखा के समांतर सदिश b=3i+2j-2k
अतः सूत्र r=a+tb से
अभीष्ट रेखा का समीकरण r=4i+2j+3k+t3i+2j-2k
r=4+3ti+2+2tj+3-2tk
16- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-22=y-29=z-29है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-22=y-29=z-29
x-22=y-29=z-29 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-22=y-29=z-29 2,9,9 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु2,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,9,9हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+92+92 , m=922+92+92, n=922+92+92
l=2166 , m=9166, n=9166
17 -बिंदु 2,5,4 से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 4i+2j-5k के समांतर है |
उत्तर -बिंदु 2,5,4 का स्तिथि सदिश a=2i+5j+4k
रेखा के समांतर सदिश b=4i+2j-5k
अतः सूत्र r=a+tb से
अभीष्ट रेखा का समीकरण r=2i+5j+4k+t4i+2j-5k
r=2+4ti+5+2tj+4-5tk
18- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-16=y-61=z-66है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-16=y-61=z-66
x-16=y-61=z-66 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-16=y-61=z-66 6,1,6 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,6,6 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 6,1,6हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=662+12+62 , m=162+12+62, n=662+12+62
l=673 , m=173, n=673
19 -बिंदु 6,3,6 से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 6i+5j-3k के समांतर है |
उत्तर -बिंदु 1,2,3 का स्तिथि सदिश a=6i+3j+6k
रेखा के समांतर सदिश b=6i+5j-3k
अतः सूत्र r=a+tb से
अभीष्ट रेखा का समीकरण r=6i+3j+6k+t6i+5j-3k
r=6+6ti+3+5tj+6-3tk
20- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-19=y-99=z-99है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-19=y-99=z-99
x-19=y-99=z-99 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-19=y-99=z-99 9,9,9 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,9,9 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 9,9,9हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=992+92+92 , m=992+92+92, n=992+92+92
l=13 , m=13, n=13
21- बिंदु 2i-5j+10kसे जाने वाली तथा सदिश 5i-3j+2k के समांतर सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये |
उत्तर- बिंदु a=2i-5j+10k से जाने वाली तथा सदिश b=5i-3j+2k के समांतर सरल रेखा का समीकरण : rb=ab
r5i-3j+2k=2i-5j+10k5i-3j+2k
r5i-3j+2k=
r5i-3j+2k=20i+46j+19k
22- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-8=y-8=z-8 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-8=y-8=z-8
x-81=y-81=z-81 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-81=y-81=z-81 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु8,8,8 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
23- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिंदु i+j+k होकर जाती है तथा सदिशों 2i+4j-3k एवं i+j-2k के समांतर है |
उत्तर- बिंदु a= i+j+k से जाने वाले तथा सदिशों b=2i+4j-3k एवंc=i+j-2k के समांतर समतल का समीकरण: r=a+tb+sc
r=i+j+k+t2i+4j-3k+si+j-2k
r=1+2t+si+1+4t+sj+1-3t-2sk
24- बिन्दुओ i+j-k ,i-j+3kतथा 3i+4j-2kसे होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये|
उत्तर- बिंदु a=i+j-k,b=i-j+3kतथा c=3i+4j-2k से होकर जाने वाली समतल समीकरण:r=a+tb-a+s c-a
r=i+j-k+ti-j+3k-i+j-k+s3i+4j-2k-i+j-k
r=i+j-k+t-2j+4k+s2i+3j-k
r=1+2si+1-2t+3sj+-1+4t-sk
25- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 21 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+j+3k पर लम्ब है |
उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=21 इकाई
तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+j+3k
इसलिए n=nn=i+j+3k12+12+32
n=nn=i+j+3k11
अतः समतल का समीकरण rn=p
ri+j+3k11=21
ri+j+3k=2111
