बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 12 त्रि-विमीय ज्यामिति का परिचय लघुत्तरीय प्रश्न

लघुत्तरीय प्रश्न 

01- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-1 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-1

x-11=y-11=z-11        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-11=y-11=z-11       1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु1,1,1 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=112+12+12 ,    m=112+12+12,      n=112+12+12

l=13 ,    m=13,      n=13

02- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-2 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-2

x-11=y-11=z-21        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-11=y-11=z-21       1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु1,1,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=112+12+12 ,    m=112+12+12,      n=112+12+12

l=13 ,    m=13,      n=13

03- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-21है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-21

x-12=y-21=z-21        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-12=y-21=z-21       2,1,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,1,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=222+12+12 ,    m=122+12+12,      n=122+12+12

l=26 , m=16, n=16

04 -बिंदु 1,2,3 से होकर जाने वाली उस रेखा का  समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 3i+2j-2k के समांतर है  |

उत्तर -बिंदु 1,2,3 का स्तिथि सदिश a=i+2j+3k

रेखा के समांतर सदिश b=3i+2j-2k

अतः सूत्र r=a+tb से 

अभीष्ट रेखा  का समीकरण r=i+2j+3k+t3i+2j-2k

r=1+3ti+2+2tj+3-2tk

05- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-22=y-21=z-21है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-22=y-21=z-21

x-22=y-21=z-21        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-22=y-21=z-21       2,1,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु2,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,1,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=222+12+12 ,    m=122+12+12,      n=122+12+12

l=26 , m=16, n=16

06 -बिंदु 2,3,4 से होकर जाने वाली उस रेखा का  समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 4i+2j-3k के समांतर है  |

उत्तर -बिंदु 1,2,3 का स्तिथि सदिश a=2i+3j+4k

रेखा के समांतर सदिश b=4i+2j-3k

अतः सूत्र r=a+tb से 

अभीष्ट रेखा  का समीकरण r=2i+3j+4k+t4i+2j-3k

r=2+4ti+3+2tj+4-3tk

07- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-22है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-22

x-12=y-21=z-22        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-12=y-21=z-22       2,1,2 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,1,2हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=222+12+22 ,    m=122+12+22,      n=222+12+22

l=23 , m=13, n=23

08 -बिंदु 4,3,4 से होकर जाने वाली उस रेखा का  समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 4i+5j-3k के समांतर है  |

उत्तर -बिंदु 1,2,3 का स्तिथि सदिश a=4i+3j+4k

रेखा के समांतर सदिश b=4i+5j-3k

अतः सूत्र r=a+tb से 

अभीष्ट रेखा  का समीकरण r=4i+3j+4k+t4i+5j-3k

r=4+4ti+3+5tj+4-3tk

09- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-22है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-22

x-12=y-22=z-22        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-12=y-22=z-22       2,2,2 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,2,2हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=222+22+22 ,    m=222+22+22,      n=222+22+22

l=13 ,    m=13,      n=13

10-  बिंदु 2i-5j+10kसे जाने वाली तथा सदिश 5i-3j+2k के समांतर सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये | 

उत्तर- बिंदु  a=2i-5j+10k से जाने वाली तथा सदिश b=5i-3j+2k के समांतर सरल रेखा का समीकरण : rb=ab

r5i-3j+2k=2i-5j+10k5i-3j+2k

r5i-3j+2k=

r5i-3j+2k=20i+46j+19k

11- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-5=y-5=z-5 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-5=y-5=z-5

x-51=y-51=z-51        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-51=y-51=z-51       1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु5,5,5 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=112+12+12 ,    m=112+12+12,      n=112+12+12

l=13 ,    m=13,      n=13

12- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिंदु i+j+k होकर जाती है  तथा सदिशों 2i+4j-3k एवं  i+j-2k के समांतर है | 

उत्तर- बिंदु  a= i+j+k से  जाने वाले तथा सदिशों b=2i+4j-3k एवंc=i+j-2k के समांतर समतल का समीकरण: r=a+tb+sc

r=i+j+k+t2i+4j-3k+si+j-2k

r=1+2t+si+1+4t+sj+1-3t-2sk

13- बिन्दुओ i+j-k ,i-j+3kतथा 3i+4j-2kसे होकर जाने वाले  समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये| 

उत्तर- बिंदु a=i+j-k,b=i-j+3kतथा c=3i+4j-2k  से होकर जाने वाली समतल  समीकरण:r=a+tb-a+s c-a 

r=i+j-k+ti-j+3k-i+j-k+s3i+4j-2k-i+j-k

r=i+j-k+t-2j+4k+s2i+3j-k

r=1+2si+1-2t+3sj+-1+4t-sk

14- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 11 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+j+3k पर लम्ब है | 

उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=11 इकाई 

तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+j+3k

इसलिए n=nn=i+j+3k12+12+32

n=nn=i+j+3k11

अतः समतल का समीकरण rn=p

ri+j+3k11=11

ri+j+3k=1111

15-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये 

rs-2ti+3-tj+2s+tk=25

उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है 

दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर 

समतल का कार्तीय समीकरण  xi+yj+zks-2ti+3-tj+2s+tk=25

s-2tx+3-ty+2s+tz=25

16- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-3=y-3=z-3 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-3=y-3=z-3

x-31=y-31=z-31        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-31=y-31=z-31       1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु3,3,3 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=112+12+12 ,    m=112+12+12,      n=112+12+12

l=13 ,    m=13,      n=13

17- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिंदु 2i+2j+2k होकर जाती है  तथा सदिशों 2i+4j-3k एवं  i+j-2k के समांतर है | 

उत्तर- बिंदु  a=2i+2j+2k से  जाने वाले तथा सदिशों b=2i+4j-3k एवंc=i+j-2k के समांतर समतल का समीकरण: r=a+tb+sc

r=2i+2j+2k+t2i+4j-3k+si+j-2k

r=2+2t+si+2+4t+sj+2-3t-2sk

18- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-2=y-3=z-4 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-2=y-3=z-4

x-21=y-31=z-41        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-21=y-31=z-41       1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु2,3,4 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=112+12+12 ,    m=112+12+12,      n=112+12+12

l=13 ,    m=13,      n=13

19- बिन्दुओ 2i+3j-k ,i-2j+3kतथा 3i+4j-2kसे होकर जाने वाले  समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये| 

उत्तर- बिंदु a=2i+3j-k,b=i-2j+3kतथा c=3i+4j-2k  से होकर जाने वाली समतल  समीकरण:r=a+tb-a+s c-a 

r=2i+3j-k+ti-2j+3k-2i+3j-k+s3i+4j-2k-2i+3j-k

r=2i+3j-k+t-i-5j+4k+si+j-k

r=2-t+si+3-5t+sj+-1+4t-sk

20- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 12 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+4j+3k पर लम्ब है | 

उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=12 इकाई 

तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+4j+3k

इसलिए n=nn=i+4j+3k12+42+32

n=nn=i+4j+3k26

अतः समतल का समीकरण rn=p

ri+4j+3k26=12

ri+4j+3k=1226

21-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये 

rs-2ti+3-tj+2s+tk=15

उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है 

दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर 

समतल का कार्तीय समीकरण  xi+yj+zks-2ti+3-tj+2s+tk=15

s-2tx+3-ty+2s+tz=15

22- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-21है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-21

x-12=y-22=z-21        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-12=y-22=z-21       2,2,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,2,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=222+22+12 ,    m=222+22+12,      n=122+22+12

l=23 , m=13, n=13

23-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये 

rs-2ti+5-tj+2s+tk=15

उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है 

दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर 

समतल का कार्तीय समीकरण  xi+yj+zks-2ti+5-tj+2s+tk=15

s-2tx+5-ty+2s+tz=15

24- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 14 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+4j+3k पर लम्ब है | 

उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=14 इकाई 

तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+4j+3k

इसलिए n=nn=i+4j+3k12+42+32

n=nn=i+4j+3k26

अतः समतल का समीकरण rn=p

ri+4j+3k26=14

ri+4j+3k=1426

25- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-2-2=z-21है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये 

उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-2-2=z-21

x-12=y-2-2=z-21        x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर 

x-12=y-2-2=z-21       2,-2,1 के ल. स. से भाग देने पर 

उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,-2,1हैं 

अतः रेखा की दिक् - कोसाइन 

l=222+22+12 ,    m=-222+22+12,      n=122+22+12