बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 16 प्रायिकता दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 

प्रश्न 1- एक छात्र के अपनी परीक्षा पास करने की प्रायिकता 0.73 है, छात्र के एक कंपार्टमेंट मिलने की प्रायिकता 0.13 है, और छात्र के या तो पास होने या कंपार्टमेंट पाने की प्रायिकता 0.96 है।

हल -  असत्य
मान लीजिए A = छात्र परीक्षा
B पास करेगा = छात्र को कंपार्टमेंट मिलेगा
P(A) = 0.73, P(B) = 0.13 और P(A or B) = 0.96
P(A or B) = P(A) + P(B) = 0.73 + 0.13 = 0.86
लेकिन P(A या B) = 0.96 अत: दिया गया कथन असत्य है।

प्रश्न 2- 75% मामलों में सच बोलता हैं तथा B 60% मामलों में सच बोलते हैं दोनों का विरोधाभास होने की संभावना ज्ञात करें?

हल- प्रश्नानुसार,
A की सच बोलने की संभावना = 74/100
= 3/4
A के छूट बोलने की संभावना = 1 – 3/4
= 1/4
B के सच बोलने की संभावना = 60/100
= 3/5
B के झूठ बोलने की संभावना = 1 – 3/5
= 2/5
विरोधाभास तभी होगा जब एक बोलता हो तथा दूसरा झूठ,
अतः ऐसी संभावना = (3 × 2 × 1 × 3 × 9 × 100)/(4
× 5 × 4 × 4)= 45%

प्रश्न 3- एक बैग में 3 सफेद 2 नीली  और 5 लाल गेंद होती है। एक गेंद बेग से यादृच्छिक पर निकाली जाती है। क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद लाल नहीं है?

हल - एक बैग में 3 सफेद, 2 नीली और 5 लाल गेंदें होती हैं।

गेंदों की कुल संख्या = 3+2+5=10

गेंदों की संख्या जो लाल नहीं है =10-5=5

=

निकाली गई गेंदों की प्रायिकता जो ताल नहीं है (गेंदों की संख्या जो ताल नहीं हैं)/(गेंदों की कुल संख्या) = 5/10 = 1/2

प्रश्न 4- A एक किताब में दी गई 90% समस्याओं को हल कर सकता है और B 70% हल कर सकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से कम से कम एक पुस्तक से यादृच्छिक रूप से चुनी गई समस्या का समाधान करेगा?

हल -

A 90% समस्याओं को हल कर सकता है और B 70% समस्याओं को हल कर सकता है। इसलिए A और B एक दूसरे से स्वतंत्र है।

P(A) = 0.90 और P(B) = 0.70 

इसलिए

 P(उनमें से कम से कम एक समस्या का समाधान करेगा) = 1 - (P (A) x P(B))

P=1-[(1 -0.9) x (10.7)] = 1-0.03

P = 0.97

प्रश्न 5- एक केतली में 5 लाल गेंद और 5 काले गेंद हैं। पहले निष्कासन में एक गेंद का चयन यादृच्छिकता से किया जाता है और इसके रंग को देखे बिना हटा दिया जाता है। तो दूसरे निष्कासन में एक लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

हल -

केतली में 5 लाल गेंद और 5 काले गेंद हैं।

एक गेंद का चयन यादृच्छिकता से किया जाता है।

स्थिति (i): पहला गेंद लाल गेंद है।

दूसरे निष्कासन में एक लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता निम्न है

P1 = 5/10 x 4/9 = 2/9 

स्थिति (ii): पहला गेंद काला गेंद है।

दूसरे निष्कासन में एक लाल गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता निम्न है

P2 = 5/10 × 5/9 = 5/18

आवश्यक प्रायिकता (P) = P1 + P2 = 2/9 +5/18 = ½

प्रश्न 6- एक सिक्के को दो बार उछालने पर कम से कम एक बार हेड आने की प्रायिकता क्या है?

हल- हम जानते हैं कि.

जब एक सिक्का उछाला जाता है, तब केवल दो संभावित परिणाम होते हैं, या तो हेड या टेल

हम जानते हैं कि प्रतिदर्श समष्टि S=(HH, HT. TH, TT)

कम से कम एक बार हेड आने की घटना E= (HH, HT, TH)

प्रायिकता P(E)= n(e)/n(s) = 3/4

कम से कम एक हेड आने की प्रायिकता ½ है।

प्रश्न 7 - एक छात्र 18 प्रश्न बहुविकल्पीय परीक्षा लेता है, जिसमें प्रति प्रश्न चार विकल्प होते हैं। मान लें कि विकल्पों में से एक स्पष्ट रूप से गलत है, और छात्र शेष विकल्पों का "शिष्ट" अनुमान लगाता है, तो सही उत्तर की अपेक्षित संख्या क्या है?

हल - 

प्रश्नों की कुल संख्या = 18 

प्रत्येक प्रश्न के लिए विकल्प =4

यहां यह उल्लेख किया गया है कि एक विकल्प गलत है, इसका मतलब है कि प्रत्येक प्रश्न के

लिए सही उत्तर का अनुमान लगाने के लिए केवल तीन विकल्प होंगे।

इसलिए हमारे पास कुल 18 प्रश्न है जिन्हें स्वतंत्र घटनाओं के रूप में माना जाएगा।

3 विकल्पों में से एक सही उत्तर चुनने की प्रायिकता 1/3 है।

18 प्रश्न के लिये 

1/3 x 18 = 6

 सही प्रश्नों की अपेक्षित संख्या = 6

प्रश्न 8- जब तीन सिक्के एक साथ एक बार उछाले जाते हैं, तब इस घटना से सम्बन्धित प्रतिदर्श समष्टि अंकित कीजिए। 

हल- 

हम जानते हैं कि किसी भी सिक्के को उछालने पर दो ही परिणाम प्राप्त होते हैं या तो चित्त (H) या पट् (T), इसलिए सम्भव परिणाम होंगे-

जब तीनों सिक्कों पर चित्त हो, तब HHH

जब एक सिक्के पर चित्त शेष दो पर पट् = HTT

जब एक सिक्के पर पट् शेष दो पर वित्त THH

इसी प्रकार अन्य, परिणाम प्राप्त हो सकते हैं अर्थात् कुल सम्भव परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि हो, तब SHHHHHT, HTH, THH, HIT, THT, TTH, TIT).

प्रश्न 9 - यदि एक थैले में 4 गेंदें भिन्न-भिन्न रंग की है। लाल (R), नीली (B), पीली (Y) और सफेद W)। यदि एक बार में दो गेदे निकाली जाती हो, तो इसका प्रतिदर्श क्या होगा ?

हल -

एक बार में कोई-सी दो गेंदें खींची जा सकती हैं जो कि भिन्न-भिन्न रंग की होंगी, तो प्रतिदर्श समष्टि है-

S = (RB, RY, RW, BY, BW, YW)

यदि अब यों कहा जाय कि नीली-पीली, नीली-सफेद के दो जोड़े ही लेने हैं, तो लिखेंगे-

S(E) = (BY, BW)

जहाँ S(E) घटना E को निरूपित करने वाले बिन्दुओं की संख्या है। 

प्रश्न 10 -. दो सिक्कों अर्थात् एक 50 पैसे का तथा दूसरा 1 रु. का को एक बार उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।

हल-

हम जानते हैं कि किसी भी सिक्के को उछालने पर दो परिणाम प्राप्त होते हैं या तो चित्त (H) या पट् (T). इसलिए

सम्भव परिणाम होंगे--

जब दोनों सिक्कों पर चित्त हो, तब HH

जब एक सिक्के पर चित्त और दूसरे पर पट् = HT 

जब एक सिक्के पर पर और दूसरे पर चित्त = TH

जब दोनो सिक्कों पर पट्=TT

अतः प्रतिदर्श समष्टि S = (HH, HT, TH, TT).

प्रश्न 11  यदि दो सिक्के उछाले जाये तो वह घटना मालूम करो, जबकि (1) कम-से-कम एक शीर्ष गिरे, (ii) कम-से-कम पुछ गिरे 

हल -

(1) कम-से-कम एक शीर्ष गिरने के बिन्दु HH, HT, TH होंगे। अतः

प्रतिदर्श समष्टि

A = (HH, HT, TH)

(ii) कम-से-कम एक पुच्छ गिरने के बिन्दु TT, TH, HT होंगे। अत:

प्रतिदर्श समष्टि

B = ( TT, TH, HT)

A U B (HH, HT, TH, TT)

प्रश्न 12 - ताश के 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह इक्का होगा।

हल - 

52 ताश के पत्तों की गड्डी में केवल 4 इक्के होते हैं।

अतः

इक्का आने की प्रायिकता = 4/ 52

1/13 

प्रश्न 13  -. एक थैले में 3 काली और 4 सफेद गेंदे है एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल - 

एक थैले में कुल गेंदों की संख्या = 3+4=7

जिनमें काली गेंदों की संख्या 3

काली गेंद निकालने की प्रायिकता = 3/7

प्रश्न 14  -.  यदि किसी लीप वर्ष (Leap year) को यदृच्छया (At random) चुन लिया जाय, तो उस वर्ष में 53 रविवार होने को यिकता ज्ञात करो।

हल : एक लीप वर्ष में 366 दिन अर्थात् 52 पूर्ण सप्ताह और 2 दिन होते हैं। इन दो दिनों में से निम्नलिखित 7 संचय कर सकते

(1) सोमवार और मंगलवार,

(2) मंगलवार और बुधवार,

(3) बुधवार और बृहस्पतिवार,

(4) बृहस्पतिवार और शुक्रवार,

(5) शुक्रवार और शनिवार,

(6) शनिवार और रविवार,

(7) रविवार और सोमवार

इन सात समप्रायिकता  (equally likely) स्थितियों में से दो परिस्थितियों (6) और (7) पक्ष में है

S(P) = 7, S(E) = 2

इसीलिए

अभीष्ट प्रायिकता = S(E)S(P)S(P) =2/7

प्रश्न  15- 52 ताशों की गड़ी से एक ताश खींचा जाता है। वह ताश बादशाह या इट (पान) का पता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए 

हल -

52 पत्तों में ईंट (पान) के 13 पत्ते तथा अन्य 3 बादशाह है।

ईंट (पान) के पत्ते तथा शेष बादशाहों को मिलाकर पत्तों की कुल संख्या 13+3=16 

इन 16 पतों में से एक पत्ता खींचने पर बादशाह या ईंट (पान) का पता प्राप्त होगा

अत:

16 / 52 = 4 / 13

अतः अभीष्ट घटना की प्रायिकता

प्रश्न  16- एक पटना के प्रतिकूल संयोगानुपात 3:5 है, तो उसके घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए? 

हल -

एक घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात = 3/5 

तब पटना के अनुकूल संयोगानुपात = m/n = 5/3

घटना के घटित होने की प्रायिकता = mm+n = 55+3 = 58

घटने की प्रायिकता = 58

प्रश्न  17- ताश के 52 पत्तों में से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए  कि पत्ता हुकुम का हो लेकिन इक्का न हो।

हल- 

52 ताश के पत्तों में 13 ताश हुकुम के होते हैं। जब एक ताश खींचा जाता है तब वह इक्का न  हो तब कुल ताश 13-1=12 होंगे 

13-1=12 होंगे।

अभीष्ट प्रायिकता = 12 / 52 = 3 / 13 

प्रश्न 18 - एक साधारण पाँले को फेंककर तीन से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करो।

हल -

चूंकि पासा   6 प्रकार से गिर सकता है और पाँसे  के गिरने छ   की विधियों में से तीन (4.5.6)

ऐसी है जो 3 से बड़ी है।

 अंतः - तीन से अधिक अंक फेंकने की प्रायिकता - 3 6 = 1 2   

समुच्चय सिद्धात  से S(P) = { 1,2,3,4,5,6) के समुच्चय में 6 बिन्दु है, औरS  (E  ) = { 4, 5 , 6 } 

समुच्चय ही पक्ष में है जिसमे 3 बिन्दु है  

अंतः                        प्रायिकता = S(E)S(P) =  3 6 = 1 2   

प्रश्न 19 - एक कक्षा में 12 विद्यार्थी है जिनमें 5 लड़के और शेष लड़कियाँ है। यदि उस कक्षा से एक विद्यार्थी चुनना है, तो लड़की के चुने जाने की प्रायिकता क्या होगी ?

हल-

कक्षा में कुल विद्यार्थी=  12 है 

कक्षा में कुल लड़के =  5 है

 कक्षा में कुल लड़कियाँ 12 - 5 = 7 होंगी। 

जब कक्षा से एक विद्यार्थी चुनना है तो लड़की के चुने जाने की प्रायिकता 7  12    होगी।

प्रश्न 20 - किसी पद पर A की नियुक्ति की प्रायिकता1 3     है तथा Bकी 2  5   है। उनमें से केवल एक ही की नियुक्ति हो, इस बात की प्रायिकता क्या है 

हल-

 किसी पद पर A या B की नियुक्ति ये परस्पर अपवर्जी घटनाएँ है, क्योंकि यदि A की नियुक्ति होती है, तो B की नहीं होगी यदि B की नियुक्ति होती है, तो  A  की नियुक्ति नहीं होगी।

अतः इनमें से किसी एक की नियुक्ति होने की प्रायिकता = 1 3   + 2  5   = 5 + 6 15 = 11 15  

प्रश्न 21 - किसी दौड़ में A के जीतने की प्रायिकता 1 3 और B के जीतने की प्रायिकता 14 है। उस दौड़ को A और B में से कोई न जीत पाये इसकी प्रायिकता क्या है?

हल- दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी है, क्योंकि जब A जीतता है, तो B नहीं जीतेगा और जब B जीतता है, तो Aनहीं जीतेगा।

अतः दोनों में से कोई एक जीत सकता है, इसकी प्रायिकता = 1 3 + 1 4 = 7 12  

अतः उनमें से कोई न जीत पाये, इसकी प्रायिकता = 1 - 7 12 = 5 12  

प्रश्न 22  किसी दौड़ में .A. B. C. D चार घोड़ों के जीतने के अनुकूल संयोगानुपात क्रमशः 1 : 3, 1 : 4, 1 : 5,1 : 6 है। उनमें से किसी भी एक घोड़े के जीतने की प्रायिकता ज्ञात करो।

हल चुकि कोई एक घोड़ा  ही जीत सकता है और शेष हारेंगे अंतः  उनके जीतने की घटनाए  परस्पर अपवर्जी है। यदि A. B. C. D के जीतने की प्रायिक्रम क्रमशः  P1 P2 P3 .  P4  हो, तो

P1 =   1   1+3 = 1 4 , P2 = 1 1 + 4 = 1 5   

P3  = 1   1+5 =  1 6  , P4   = 1 1 +6  = 1 7     

अभीष्ट प्रायिकता  =   P1 P2 P3 .  P4   

 1 4   +  1 5  +  1 6  +  1 7   =  319 420  

प्रश्न 23 - एक थैले में 10 सफेद और 15 लाल गेंदें है तथा दूसरे थैले  में 8 सफेद और 9 लाल गेंदें है। प्रत्येक थैले में से एक-एक गेंद निकाली जाती है। दोनों गेंदों के एक ही रंग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल-

पहले थैले में कुल गेंदों की संख्या = 10 + 15 = 25

दूसरे थैले में गेंदों की कुल संख्या = 8+9 = 17 

दोनों गेंदें एक ही रंग की हो अर्थात् दोनों गेंदें सफेद या लाल होने की घटनाएँ भी परस्पर अपवर्जी है। 

अतः इनमें से एक घटना के घटित होने की प्रायिकता 

= दोनों गेंदे सफेद होने की प्रायिकता + दोनों गेंदे लाल होने की प्रायिकता 

=   10 25 817 + 15 25 9 17

=   80+135 425

=   43 85

प्रश्न 24- ताशों की गड्ड़ी से एक-एक करके चार ताश खींचे जाते हैं और उन्हें फिर गड्डी में नहीं रखा जाता। बताओ उन सबके होने की क्या प्रायिकता है?

हल-

 52 ताश की गड्डी में 4 इक्का होते हैं।

अतः एक इक्का की प्रायिकता = 4/52 

चूँकि खींचे हुए ताश को फिर से गड्डी में नहीं रखा जाता है अतः शेष 51 ताश रह जाते हैं और यदि एक इक्का खींच लिया गया, तो  

शेष 3  इक्का रह गये अतः दूसरी बार इक्का खींचने की प्रायिकता = 3/51 

इसी प्रकार तीसरी बार और चौथी बार इक्का खींचने की प्रायिकताएँ क्रमशः: 2/50 और 1/49

चूँकि घटनाएँ स्वतन्त्र हैं, अतः अभीष्ट प्रायिकता = 4/52 . 3/51 . 2/50 .1/49 =  1/270725

प्रश्न 25 - A के द्वारा एक प्रश्न हल करने की प्रायिकता 2 3   है तथा B के द्वारा इसे हल करने की प्रायिकता  3 5 है   इन दोनों में से कम से कम एक के द्वारा प्रश्न हल हो जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये। है तथा B के द्वारा इसे हल करने की प्रायिकता है। 

हल -

P1 के द्वारा प्रश्न हल करने की प्रायिकता = 2/3 

तथा P2.=  B के द्वारा प्रश्न हल करने की प्रायिकता =  3/5

तब , दोनों में से कम से कम एक के द्वारा प्रश्न हल हो जाने की प्रायिकता

= 1 - (1-P1 ) ( 1- P2.)

= 1 -  13 . 25 = 1315

प्रश्न 26 - ताशों की गड्डी फेंटते समय तीन ताश गिर पड़ते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि ये तीन ताश भिन्न-भिन्न सूटों (suits) से हों (अर्थात् यदि एक पान का है तो दूसरा हुकुम का, तीसरा चिड़ी का, ये ऐसे ही कोई और संचय) ।

हल - 

52 ताशों में से किसी ताश के गिरने की प्रायिकता = 51/52 

जिस सूट का ताश गिर पड़ा है उसके भिन्न सूटों के 39 ताश हैं अर्थात् यदि पान का ताश गिरा है, तो हुकुम, चिड़ी और ईंट के 39 ताश रह गये और अब इन 39 में से कोई भी ताश हमारे पक्ष में है शेष 51 ताश हैं। अतः इनकी प्रायिकता = 39/51 

अब तीसरे पक्ष में 26 ताश रह गये हैं, क्योंकि दो सूट के गिर गये; शेष दो सूट के 26 रह गये और कुल ताश 50 रह गए है 

इसकी प्रायिकता = 26 / 50

चूँकि ये मिश्र घटनाएँ हैं, अतः इसकी प्रायिकता = 51 52 39 51 26 50 = 39 100

प्रश्न 27 - एक थैले में 4 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। यदि ये एक-एक करके निकाली जाएँ तो पहली गेंद के सफेद, दूसरी के काली, तीसरी के सफेद, चौथी के काली, पाँचवीं के सफेद, छठवीं के काली और सातवीं के सफेद होने की मिश्र प्रायिकता ज्ञात करो?

हल-

पहली गेंद के सफेद होने की प्रायिकता =    4/7 , क्योंकि थैले में 7 गेंदें हैं जिनमें 4 सफेद हैं।

दूसरी गेंद के काली होने की प्रायिकता = 3/6  , क्योंकि थैले में 6 गेंदें शेष हैं जिनमें 3 काली हैं।

तीसरी गेंद के सफेद होने की प्रायिकता है = 3/5 , क्योंकि थैले में अब 5 गेंदें हैं और 3 सफेद हैं।

इसी प्रकार, चौथी गेंद काली होने की प्रायिकता = 2/4

पाँचवीं गेंद के सफेद होने की प्रायिकता  = 2 / 3

छठी गेंद के काली होने की प्रायिकता = 1 / 2

सातवीं गेंद के सफेद होने की प्रायिकता 1/1