बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 16 प्रायिकता लघु उत्तरीय प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1- एक सिक्के को उछालने पर टेल आने की प्रायिकता क्या हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
एक सिक्के में Head और Tail होते हैं।
सिक्के के उछाल में Head आने की प्रायिकता
S = {H, T},
E = {T}
P(E) = n(E)/n(S)
P(E) = ½
प्रश्न 2- एक साधारण पासे को फेंका जाता हैं बताइए कि चार का अंक ऊपर आए।
हल -
प्रश्नानुसार,
पासे पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 तक अंक होते हैं जिनमें से किसी भी एक के ऊपर आने की संभावना समान हैं।
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
माना कि,
E = {4 का अंक ऊपर आने की घटना}
n(E) = 1
अतः घटना E की संभाविता P(E) = n(E)/n(S) = ⅙
प्रश्न 3- 3 यदि एक पासे को 30 बार फेंका जाए तो कितने बार 2 के आने की प्रायिकता हैं?
हल -
प्रश्नानुसार,
पासे को एक बार फेंके जाने पर 2 अंक आने की प्रायिकता = 1/6
पासे की प्रत्येक फेंक परस्पर अपवर्जी हैं।
तो 30 बार पासे फेंके जाने पर 2 आने की प्रायिकता
= 1/6 + 1/6 + 1/6 + …….. 30
= 5 बार
प्रश्न 4- एक पर्स में 5 चांदी के एवं 2 सोने के सिक्के हैं एक दूसरे पर्स में 4 चांदी के और 3 सोने के सिक्के हैं किसी एक पर्स से एक सिक्का निकाला गया इसे चांदी का सिक्का होने की क्या प्रायिकता हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
पहले पर्स से 1 सिक्का निकालने पर चाँदी होने की संभावना = 5/7
दूसरे पर्स से 1 सिक्के निकालने पर चाँदी होने की संभावना = 4/7
संयुक्त रूप से चांदी होने की संभावना = (5×4)/(7×7)
= 20/49
प्रश्न 5- 20 हरा और 15 लाल गेंद एक बर्तन में डाले जाते हैं एक हरा गेंद को चुनने की संभावना कितनी हो सकती हैं?
हल -
प्रश्नानुसार,
कुल गेंद = 20 + 15
एक हरा गेंद चुनने की संभावना
²⁰C₁, ³⁵C₁
= ²⁰C₁ / ³⁵C₁
= 20/35
= 4/7
प्रश्न 6 - एक दर्जन संतरे वाले एक डिब्बे में एक तिहाई संतरे खराब हो गए हैं यदि इस डिब्बे में से किसी भी तीन संतरों को बाहर निकाला जाता हैं, तो निकाले गए इन तीन संतरों में से कम से कम एक संतरा अच्छा होगा, इसकी संभावना कितनी हैं?
हल -
प्रश्नानुसार,
तीन संतरे निकालने के कुल प्रकार = ¹²C₃
= (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1)
= 220
खराब संतरे = 12 × 1/3
= 4 संतरे
एक भी अच्छा संतरा नहीं होने का कुल प्रकार = ⁴C₃
= (4 × 3 × 2)/(3 × 2)
= 4
कम से कम एक अच्छा संतरा होने की प्रायिकता = 1 – ⁴/₂₂₀
= (220 – 4)/220
= 54/55
प्रश्न - 7 52 पत्तों की एक गद्दी में से दो पत्ते निकाले गए, तो निकाले गए पत्ते दो इक्के होंगे इसकी क्या संभावना हैं?
हल -
प्रश्नानुसार,
52 से 2 पत्ते निकालने के कुल प्रकार = ⁵²C₂
= (52 × 51)/2 × 1
= 1326
4 में से दो इक्के निकालने के कुल प्रकार = ⁴C₂
= (4 × 3)/(2 × 1)
= 12/2
= 6
दो इक्के होने की संभावना
= 6/1326
= 1/221
प्रश्न 8- तीन सिक्के उछाले जाते हैं, कम से कम एक चित्त आने की क्या प्रायिकता हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
तीन सिक्के उछाले जाने पर कुल घटनाएं = 2
= 8
कम से कम 1 चित्त (Head) आने की अनुकूल घटनाएं = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, TTH, HHH}
= 7
अभीष्ट प्रायिकता = ⅞
प्रश्न 9- A 75% मामलों में सच बोलता हैं तथा B 60% मामलों में सच बोलते हैं दोनों का विरोधाभास होने की संभावना ज्ञात करें?
हल-
प्रश्नानुसार,
A की सच बोलने की संभावना = 74/100
= 3/4
A के छूट बोलने की संभावना = 1 – 3/4
= 1/4
B के सच बोलने की संभावना = 60/100
= 3/5
B के झूठ बोलने की संभावना = 1 – 3/5
= 2/5
विरोधाभास तभी होगा जब एक बोलता हो तथा दूसरा झूठ,
अतः ऐसी संभावना = (3 × 2 × 1 × 3 × 9 × 100)/(4 × 5 × 4 × 4)
= 45%
प्रश्न 10- LEADER शब्द के अक्षरों को कितने विविध प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
अभीष्ट प्रकार = 6!/2!
(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1)
= 360
प्रश्न 11- स्वरों को हर बार साथ रखकर एवं वयंजन को भी हर बार साथ रखकर ORGANISE शब्द को अलग-अलग कितने प्रकार से क्रमबद्ध किया जा सकता हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
कुल शब्द = 8,
स्वर = 4,
व्यंजक = 4
अभीष्ट प्रकार = (4! × 4!)
= 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1
= 576
प्रश्न 12- शब्द DESIGN के अक्षरों को अलग-अलग कितनी तरह से क्रमबद्ध किया जा सकता हैं कि कोई भी वयंजन दो में से किसी भी छोर पर न हो?
हल-
प्रश्नानुसार,
DESIGN में कुल 6 अक्षर हैं
कुल शब्द = 6, व्यंजक = 4
अभीष्ट प्रकार = 2 × 4!
= 2 × 4 × 3 × 2 × 1
= 48
प्रश्न 13- दो घटनाओं Aऔर B के प्रतिच्छेदन की संभावना हमेशा घटना के अनुकूल घटनाओं से कम या बराबर होती है ?
हल -
सत्य
हम जानते हैं कि A ∩ B ⊂ A
P (A ∩ B) ≤ P (A)
इसलिए, यह एक सत्य कथन है।
प्रश्न 14-घटना A के घटित होने की प्रायिकता .7 है और घटना B के घटित होने की प्रायिकता .3 है और दोनों के घटित होने की प्रायिकता .4 है।
हल-
असत्य
A B⊆ A, B
P(A B ) P(A), P(B)
लेकिन दिया गया है कि P(B) = 0.3 और P(A ∩B) = 0.4, जो संभव नहीं है।
प्रश्न 15- यदि एक पासे को 18 बार फेंका जाए तो कितने बार 2 के आने की प्रायिकता हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
पासे को एक बार फेंके जाने पर 2 अंक आने की प्रायिकता = 1/6
पासे की प्रत्येक फेंक परस्पर अपवर्जी हैं।
तो 18 पासे फेंके जाने पर 2 आने की प्रायिकता
= 1/6 + 1/6 + 1/6 + …….. 18
= 3 बार
प्रश्न 16-एक पर्स में 5 चांदी के एवं 2 सोने के सिक्के हैं एक दूसरे पर्स में 4 चांदी के और 3 सोने के सिक्के हैं किसी एक पर्स से एक सिक्का निकाला गया इसे चांदी का सिक्का होने की क्या प्रायिकता हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
पहले पर्स से 1 सिक्का निकालने पर चाँदी होने की संभावना = 5/7
दूसरे पर्स से 1 सिक्के निकालने पर चाँदी होने की संभावना = 4/7
संयुक्त रूप से चांदी होने की संभावना = (5×4)/(7×7)= 20/49
प्रश्न 17- 20 हरा और 15 लाल गेंद एक बर्तन में डाले जाते हैं एक हरा गेंद को चुनने की संभावना कितनी हो सकती हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
कुल गेंद = 50 + 15
एक हरा गेंद चुनने की संभावना
= 20C1/35C1
= 20/35
= 4/7
प्रश्न 17- तीन सिक्के उछाले जाते हैं, कम से कम एक चित्त आने की क्या प्रायिकता हैं?
हल: प्रश्नानुसार,
तीन सिक्के उछाले जाने पर कुल घटनाएं = 2
= 8
कम से कम 1 चित्त (Head) आने की अनुकूल घटनाएं = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, TTH, HHH}
= 7
अभीष्ट प्रायिकता = 7/8
प्रश्न 18- एक दिवसीय क्रिकेट टूर्नामेंट में भारत के भाग नहीं लेने की संभावना 25% हैं जबकि आस्ट्रेलिया के भाग नहीं लेने की संभावना 30% हैं दोनों में से किसी के भी भाग नहीं लेने की संभावना हैं?
हल-
प्रश्नानुसार,
अभीष्ट संभावना
= (75 × 70)/(100 × 100)
= (3 × 7)/(4 × 10)
= 21/40
प्रश्न 19- E1 और E2 एक घटना के केवल दो परिणाम है तथा P(E1) = 0.32 तब P(E2) का मान ज्ञात कीजिए।
हल-
P(E1) + P(E2)
0.32 + P(E2) = 1
P(E2) = 1 – 0.32 = 0.68
प्रश्न 20- एक परीक्षण में, एक सिक्के को 500 बार उछाला गया है यदि चित् 280 बार ऊपर आता है तब एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल-
चित् आने के प्रकार = 280
∴ पट आने के प्रकार = 500 – 280 = 220
प्रश्न 20- लूडो के एक खेल में एक पासे को फेंकने पर एक सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हलः
सम संख्या = 2,4,6 (कुल 3 संख्याएँ)
कुल संख्या = 1,2,3,4,5,6 (कुल 6 संख्याएँ)
प्रायिकता = 3/6 = 1/2
प्रश्न 21 - एक थैले में 4 सफेद गेंद तथा अन्य लाल गेंदे हैं यदि थैले से एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता 2/5 है। थैले में लाल गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हलः
सफेद गेंद = 4
कुल गेंदे = 10
लाल गेंदों की संख्या = 10 – 4 = 6 गेंदे
प्रश्न 22- एक सिक्के को 200 बार उछालने पर, 112 बार चित् तथा 88 बार पट प्राप्त हुए एक सिक्के की एक उछाल में एक पट प्राप्त होने की प्रायिकता है-
हल-
200 उछाल में 88 बार पट प्राप्त होता है।
अतः एक सिक्के की एक उछाल में एक पट प्राप्त होने की प्रायिकता=
88/200 =11/25
प्रश्न 23 - यदि एक खेल को जीतने की प्रायिकता 0.8 है, तब खेल को हारने की प्रायिकता है
हल -
खेल को हारने की प्रायिकता = 1 – 0.8 = 0.2
प्रश्न 24- गेहूं के 11 बैग, जिनमें प्रत्येक पर 5 किग्रा गेहूँ होने के बारे में लिखा है, में वास्तव में निम्न भार पाये गये- 4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00 प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इनमें से यादृच्छया तीन बैग निकालने पर उनमें 5 किग्रा से ज्यादा गेहूँ हो।
हलः
5 किग्रा से ज्यादा गेंहूँ वाले बैग की संख्या = 7
प्रायिकता P(E) = n(E)/n(S) = 7/11
प्रश्न 25-
जैसे-जैसे एक सिक्के के उछालों की संख्या बढ़ती जाती है चितों की संख्या और पटों की संख्या का अनुपात 12 हो जाता है। क्या यह सही है ? यदि नहीं तो इसे सही रूप में लिखिए।
उत्तर-
कथन असत्य है, क्योंकि जैसे-जैसे एक सिक्के के उछालों की संख्या बढ़ती जाती है, वैसे-वैसे चितों की संख्या और कुल उछालों की संख्या में 12 के निकटतम होता जाता है, ठीक 12 नहीं होता।
