बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 3 त्रिकोणमितीय फलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
1- cos 20॰ + cos 100॰ + cos 140॰ + cos 90॰का मान बराबर है
हल दिया है
cos 20॰ + cos 100॰ + cos 140॰ + cos 90॰
= 2 cos 600 cos 400 + cos 1400 + 0
= cos 40॰ + cos 140॰
= 2 cos 90॰ cos 50॰ = 0
2- cosec (-1410॰) = ?
हल cosec (-1410॰) = ?
= cosec (-1410॰)
= -cosec (1410॰)
= -cosec (1440 - 30)
= -cosec (4360 - 30)
= -cosec ( - 30)
= cosec (30)
= 2
3-tan1॰.tan2॰.tan3॰………….tan89॰ = ?
हल- tan1॰.tan2॰.tan3॰………….tan89॰ = ?
= tan1॰.tan2॰.tan3॰………….tan89
= tan1॰.tan2॰.tan3॰……tan45॰…….tan89॰
= tan(90॰- 89॰).tan(90॰ - 88॰).tan(90॰ - 87॰)……tan45॰…….tan89॰
= cot89॰.cot88॰cot87॰……tan45॰…….tan89॰
= (cot89॰.tan89॰). (cot88॰.tan88॰).(cot87॰.tan87॰)................(cot44॰.tan44॰).tan45॰
=1.1.1.1………………1.1
=1
4-cot -15/4 = ?
हल- cot -15/4
= -cot 15/4
= -cot 4 -/4
= -cot 22 -/4
= -cot -/4
= cot /4
= 1
5- सिद्ध कीजिए
cos(4 +x) + cos(4 -x) = 2 cos x
हल - LHS
cos(4 +x) + cos(4 -x)
= 2 cos(4 +x+4 - x2) . cos( 4 +x - 4 + x2)
=2cos4.cos x
= 2.12.cosx
= 2cos x
6- cos72 cos42+sin 72 sin42 = 3/2
हल- LHS
= cos72 cos42+sin 72 sin42
= cos(72 - 42)
= cos 30
= 3/2
7- सिद्ध कीजिए
sin(θ+Φ)sinθ.cosΦ = cotθ tanΦ + 1
हल- LHS
= sin(θ+Φ)sinθ.cosΦ
= sinθ . cosΦ + cosθ.sinΦsinθ.cosΦ
= sinθ.cosΦsinθ.cosΦ + cosθ.sinΦsinθ.cosΦ
= 1+ cosθ.sinΦsinθ.cosΦ
= cotθ tanΦ + 1
8 सिद्ध कीजिए
2 sin2/6 + cosec27/6 .cos2/3 = 3/2
हल- LHS
= 2 sin2/6 + cosec27/6 .cos2/3
= 2sin/6 2+sin(+/6) 2cos/3 2
= 21/4 + 4.¼
= ½ + 1
= 3/2
9- सिद्ध कीजिए
cot A - cot 2A = cosec 2A
हल - LHS
= cot A - cot 2A
= cosAsinA - cos2Asin2A
= cosA.sin2A - sinA.cos2AsinA.sin2A
= sin(2A-A)/sinA.sin2A
= sinA/sinA.sin2A
=1/sin2A
= cosec2A
10- सिद्ध कीजिए
tan50 - tan40 = 2tan10
हल -LHS
= tan50 - tan40
= sin50/cos50 - sin40/cos40
= sin50.cos40 - cos50.sin40cos50.cos40
= 2sin10cos(50+40)+cos(50 -40)
= 2sin10cos90+cos10
= 2sin100+cos10
= 2sin10cos10
= 2tan10
11- 2sin3A.cosA को हल कीजिए
हल - 2sin3A.cosA
= sin(3A+A) + sin(3A-A)
= sin4A + sin2A
12- सिद्ध कीजिए
sec(45 + A) . sec(45 - A) = 2sec 2A या
2cos(45 + A) . cos(45 - A)= cos2A
हल - LHS
= 2cos(45 + A) . cos(45 - A)
= cos((45 + A)+(45 - A))+cos((45+A) - (45 - A))
= cos 90 +cos2A
= cos2A
13 सिद्ध कीजिए
Sin 3x = 3 sin x - 4sin3x
हल - LHS
= sin 3x
= sin (2x + x)
= sin2x.cos x+cos 2x.sin x
= 2 sin x.cos x.cos x+(1-2sin2x).sin x
= 2 sin x(1 -sin2x) + sin x - 2sin3x
= 2 sin x - 2sin3x + sin x - 2sin3x
= 3sin x - 4sin3x
14- सिद्ध कीजिए
3sin 6.sec 3 - 4sin 56 cot4 = 1
हल LHS
= 3sin 6.sec 3 - 4sin 56 cot4
= 3.½.2 - 4sin(-6).1
= 3 - 4.½
= 3-2
= 1
15- sin 15 का मान ज्ञात कीजिए
हल - sin 15 = ?
= sin 15 = sin (45 -30 )
= sin 45.cos 30 - cos 45.sin 30
= 1/2.3/2 - 1/2.½
= 3 - 122
16- tan 13/12 = ?
हल - tan 13/12 = tan( + 12)
= tan 12 = tan(4 - 6)
= tan4 - tan 61 -tan4 . tan 6
= 1 - 131 + 13 = 3 - 13+1 = 2 - 3
17- सिद्ध कीजिए
sin(x + y)sin(x- y) = tan x + tan ytan x - tan y
हल - LHS
= sin(x + y)sin(x- y)
= sin x.cos y + cos x. sin ysin x.cos y - cos x. sin y
अंश और हर को cos x. cos y से भाग देने पर
= tan x + tan ytan x - tan y
18- दिखाइए
tan 3x.tan 2x.tan x = tan 3x - tan 2x - tan x
हल - हम जानते है कि
3x = 2x + x
tan3x = tan(2x + x)
tan3x = tan 2x + tan x1 - tan 2x . tan x
tan 3x - tan3x.tan 2x.tan x = tan 2x + tan x
tan 3x - tan 2x - tan x= tan3x.tan 2x.tan x
19- cos 15 = ?
हल - cos 15 = cos 30/2
cos230/2 = 1 + cos 30 2 = 1 + 3/2 2 = 2 + 3 4
cos230/2 = 2 + 3 4
cos 15 = 2 + 3 4
20- सिद्ध कीजिए
tan(45 - A2) = cosA1 + sinA
हल - RHS
cosA1 + sinA = sin(90 - A)1 + cos(90 - A)
= 2sin(90 - A)/2. cos(90 - A)/21 + (2cos2(90 - A)/2-1)
= sin(45 - A/2)cos(45-A/2)
= tan(45 - A2)
21 सिद्ध कीजिए
cos 10 - sin10cos 10 + sin10 = tan35
हल - LHS
cos 10 - sin10cos 10 + sin10
अंश और हर मे cos 10 से भाग देने पर
1 - tan10 1 - tan 10 = tan45 - tan10 1 + tan45 tan 10
= tan (45 - 10)
= tan 35
22 tan 28 tan 62 = ?
हल - tan 90 = tan (28+62) = tan 28 + tan 621 - tan 28 . tan 62
∞ = tan 28 + tan 621 - tan 28 . tan 62
10 = tan 28 + tan 621 - tan 28 . tan 62
1 - tan 28 . tan 62 = 0
tan 28 tan 62 = 1
23 sin 75
हल -sin 75
sin(45 + 30) = sin 45 . cos 30 + cos 45 . sin 30
= 1/2.3/2 + 1/2.1/2
= 3 + 122
24 sin26A - sin24A = sin 2A . sin 10A
हल - हम जानते है कि
sin2A - sin2B = sin(A + B) . sin(A - B)
LHS
sin26A - sin24A
= sin(6A + 4A) . sin(6A - 4A)
= sin 10A . sin 2A
25 tan A . cotA2 - 1 = sec A
हल -
LHS
tan A . cotA2 - 1
= sinAcosA . cosA2sinA2 - 1
= sinAcosA2 - cosA sinA2cosA.sinA2
= sin(A - A/2)cosA.sinA2
= 1/ cosA
= secA
