बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1 (2n+7) < (n + 3 )2 .
हल: मान लीजिए P(n) = (2n+7) < (n+3)2
n=1 के लिए बायाँ पक्ष = 21+7 = 9
दायाँ पक्ष (n+3)2
=(1+3)2 = 42= 16
9 <16
⇒ P (n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n) , n = k के लिए सत्य है।
2k + 7< (k+3)2
या
2 ( k + 1) + 7 < (k + 3)2 + 2
2 (k+ 1) + 7< k2 + 6k +11 ………………(1)
k को k+1 रखने पर सिद्ध करना है।
2(k + 1) + 7 < (k+1+3)2
2k + 9 < (k +4)2
समी. (1) में दाएँ पक्ष में 2k+5 जोड़ने पर
2(k + 1) + 7< k2+ 6k +11+2k+5.
2k + 9 < (k + 4)2
< k²+8k + 16 <(k+4)2
या
2k+9 < (k+ 4)2
⇒ P(n), n = k+1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n) n ∊ N के सभी मानों के लिए सत्य है।
प्रश्न 2. 32n + 2- 8n - 9, संख्या 8 से भाज्य है। -
हल: मान लीजिए P(n) : 32n + 2 - 8n - 9 संख्या 8 से विभक्त होती है। -
n = 1 के लिए,
32n + 2 - 8n - 9 = 34- 8 - 9
= 81-17 = 64
जो 8 से विभाजित है।
⇒P(n) n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n) , n = k के लिए सत्य है अर्थात 32n + 2 - 8n - 9, संख्या 8 से विभक्त होती है।
या
32k+ 2-8k-9 = 8m
32k+ 2 = 8m + 8k +9
k को k + 1 से बदलने पर.
32(k+1)+ 2 - 8 ( k + 1) - 9
= 9(8m + 8k) +81- 8k- 17
=72m+64k+ 64
= 8 ( 9m + 8k + 8)
यह भी 8 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n=k+1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ∊ N के सभी मानों के लिए सत्य है।
प्रश्न 3. 41n- 14n, संख्या 27 का एक गुणज है।
हल: मान लीजिए P(n) : 41n- 14n, संख्या 27 का गुणज है।
n=1 के लिए, 41n- 14n= 41- 14= 27 ⇒ P = 1 के लिए सत्य है।
P(n) n = k के लिए सत्य है। BH
41k-14k= 27m
41k= 27m-14k
k के स्थान पर k+1 रखने पर
41 k+1 - 14 k+1= 41.41 k- 14.14 k
=2741m+14 k
जो कि 27 से विभक्त होता है
→ P(n) n=k+1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n) ∊ N , n के सभी मानों के लिए सत्य है।
प्रश्न 4 ki . n (n+1) (n+ 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
हल मान लीजिए P(n) : n (n+1) (2 + 5), संख्या 3 का गुणज है
n=1 के लिए (n+1)(n + 5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
k(k + 1) ( k + 5) = 3m
k3 + 6k2 + 5k = 3m
या
k के स्थान पर k + 1 रखने पर (k + 1)3+ 6(k + 1)2+ 5(k+ 1) = 3m + 3(k2+ 5k + 4)
यह 3 का एक गुणज है।
⇒ P(n), n=k+1 के लिए भी सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n) n ∊ N,n के सभी मानों के लिए सत्य है।
प्रश्न 5 102n - 1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
हल माना P(n) 102n - 1 + 1,संख्या 11 से विभाजित होती है।
n = 1, के लिए 102n - 1 +1= 102-1 + 1 = 11
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n) n=k के लिए सत्य है।
102k- 1 + 1 संख्या 11 से विभाजित होती है।
102k- 1 + 1 = 11m
k को k + 1 से बदलने पर
102(k+1)- 1 + 1 =102k+ 1 + 1
=11(100m-9)
इससे सिद्ध हुआ कि 102(k+1)- 1 + 1 भी 11 से विभाजित होता है।
⇒ P(n), =k+ 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n) n∊ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।
प्रश्न 6. गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए
1² + 2² + 3² + ..... + n² = (1/6){n(n + 1)(2n + 1} सभी n ∈ N के लिए।
समाधान:
माना कथन P(n) है। तब,
पी (एन): 1² + 2² + 3² + ..... + एन² = (1/6) {एन (एन + 1) (2 एन + 1)}।
दिए गए कथन में n = 1 रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
LHS = 1² = 1 और RHS = (1/6) × 1 × 2 × (2 × 1 + 1) = 1।
इसलिए बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
अत: P(1) सत्य है।
माना P(k) सत्य है। तब,
पी (के): 1² + 2² + 3² + ..... + के² = (1/6) {के (के + 1) (2के + 1)}।
अब, 1² + 2² + 3² + ......... + k² + (k + 1)²
= (1/6) {के(के + 1)(2के + 1) + (के + 1)²
= (1/6){(के + 1).(के(2के + 1)+6(के + 1))}
= (1/6){(के + 1)(2k² + 7k + 6})
= (1/6) {(के + 1) (के + 2) (2के + 3)}
= 1/6 {(के + 1) (के + 1 + 1) [2 (के + 1) + 1]}
⇒ पी(के + 1): 1² + 2² + 3² + ….. + के² + (के+1)²
= (1/6) {(के + 1) (के + 1 + 1) [2 (के + 1) + 1]}
⇒ P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इस प्रकार, P(1) सत्य है और P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
प्रश्न 7. गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि दिया गया समीकरण सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
1 x 2 + 3 x 4 + 5 x 6 + …. + (2n - 1) x 2n = ({n (n + 1) (4n - 1)}/{3})
समाधान:
कथन सूत्र से
जब एन = 1,
बायाँ पक्ष =1 x 2 = 2
आरएचएस = ({1(1 + 1) (4 x 1 - 1)}/{3}) = ({6}/{3}) = 2
अतः यह सिद्ध होता है कि P(1) समीकरण के लिए सत्य है।
अब हम मानते हैं कि P (k) सत्य है या 1 x 2 + 3 x 4 + 5 x 6 + …. + (2k - 1) x 2k = ({k(k + 1)(4k - 1)}/{3}).
पी (के + 1) के लिए
बायाँ पक्ष = 1 x 2 + 3 x 4 + 5 x 6 + …. + (2k - 1) x 2k + (2(k + 1) - 1) x 2(k + 1)
= ({के (के + 1) (4k - 1)}/{3}) + (2 (के + 1) - 1) x 2 (के + 1)
= ({(के + 1)}/{3}) (4k2 - k + 12 k + 6)
= ({(k + 1)((k + 1) + 1)(4(k + 1) - 1)}/{3}) = P (k+1) के लिए RHS
अब यह सिद्ध हो गया है कि समीकरण के लिए P (k + 1) भी सत्य है।
अतः दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
प्रश्न 8. गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए
1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ..... + n(n + 1) = (1/3){n(n + 1)(n + 2)}।
समाधान:
माना कथन P(n) है। तब,
पी (एन): 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ..... + एन (एन + 1) = (1/3) {एन (एन + 1) (एन + 2)}।
इस प्रकार, दिया गया कथन n = 1 के लिए सत्य है, अर्थात, P(1) सत्य है।
माना P(k) सत्य है। तब,
पी (के): 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ..... + के (के + 1) = (1/3) {के (के + 1) (के + 2)}।
अब, 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 +...+ k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)
= (1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + ....... + के (के + 1)) + (के + 1) (के + 2)
= (1/3) के (के + 1) (के + 2) + (के + 1) (के + 2) [उपयोग (i)]
= (1/3) [के (के + 1) (के + 2) + 3 (के + 1) (के + 2)
= (1/3) {(के + 1) (के + 2) (के + 3)}
⇒ P(k + 1): 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 +......+ (k + 1)(k + 2)
= (1/3) {के + 1 ) (के + 2) (के +3)}
⇒ P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इस प्रकार, P(1) सत्य है और P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) ∈ N के सभी मानों के लिए सत्य है।
प्रश्न 9. गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि दिया गया समीकरण सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
2+4+6+…. + 2n = n(n+1)
समाधान:
कथन सूत्र से
जब n = 1 या P (1),
एलएचएस = 2
आरएचएस =1 × 2 = 2
अत: P(1) सत्य है।
अब हम मानते हैं कि P (k) सत्य है या 2 + 4 + 6 + …. + 2k = के (के + 1)।
पी (के + 1) के लिए,
बायाँ पक्ष = 2 + 4 + 6 + …. + 2k + 2(कश्मीर + 1)
= के (के + 1) + 2 (के + 1)
= (के + 1) (के + 2)
= (के + 1) ((के + 1) + 1) = पी (के + 1) के लिए आरएचएस
अब यह सिद्ध हो गया है कि समीकरण के लिए P(k+1) भी सत्य है।
अतः दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
प्रश्न 10. गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए
1 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 5 ∙ 7 +.....+ (2n - 1)(2n + 1) = (1/3){n(4n² + 6n - 1)।
समाधान:
माना कथन P(n) है। तब,
पी(एन): 1 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 5 ∙ 7 +...... + (2n - 1)(2n + 1)= (1/3)n(4n² + 6n - 1)।
जब n = 1, LHS = 1 ∙ 3 = 3 और RHS = (1/3) × 1 × (4 × 1² + 6 × 1 - 1)
= {(1/3) × 1 × 9} = 3।
एलएचएस = आरएचएस।
अत: P(1) सत्य है।
माना P(k) सत्य है। तब,
पी (के): 1 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 5 ∙ 7 + ….. + (2k - 1)(2k + 1) = (1/3){k(4k² + 6k - 1) .... ..(मैं)
अब,
1 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 5 ∙ 7 + …….. + (2k - 1)(2k + 1) + {2k(k + 1) - 1}{2(k + 1) + 1}
= {1 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 5 ∙ 7 + ……… + (2k - 1)(2k + 1)} + (2k + 1)(2k + 3)
= (1/3) के (4k² + 6k - 1) + (2k + 1) (2k + 3) [उपयोग (i)]
= (1/3) [(4k³ + 6k² - k) + 3(4k² + 8k + 3)]
= (1/3) (4k³ + 18k² + 23k + 9)
= (1/3){(के + 1)(4k² + 14k + 9)}
= (1/3) [के + 1) {4k (के + 1) ² + 6 (के + 1) - 1}]
⇒ P(k + 1): 1 ∙ 3 + 3 ∙ 5 + 5 ∙ 7 + ..... + (2k + 1)(2k + 3)
= (1/3) [(के + 1) {4 (के + 1)² + 6 (के + 1) - 1)}]
⇒ P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इस प्रकार, P(1) सत्य है और P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
प्रश्न 11. गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि दिया गया समीकरण सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
2 + 6 + 10 + ..... + (4n - 2) = 2n2
समाधान:
कथन सूत्र से
जब n = 1 या P(1),
एलएचएस = 2
आरएचएस = 2 × 12 = 2
अत: P(1) सत्य है।
अब हम मानते हैं कि P (k) सत्य है या 2 + 6 + 10 + ….. + (4k - 2) = 2k2
पी (के + 1) के लिए,
बायाँ पक्ष = 2 + 6 + 10 + ….. + (4k - 2) + (4(k + 1) - 2)
= 2k2 + (4k + 4 - 2)
= 2k2 + 4k + 2
= (के+1)2
= पी (के + 1) के लिए आरएचएस
अब यह सिद्ध हो गया है कि समीकरण के लिए P(k+1) भी सत्य है।
अतः दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
प्रश्न 12. गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए
1/(1 ∙ 2) + 1/(2 ∙ 3) + 1/(3 ∙ 4) + ..... + 1/{n(n + 1)} = n/(n + 1)
समाधान:
माना कथन P(n) है। तब,
पी(एन): 1/(1 ∙ 2) + 1/(2 ∙ 3) + 1/(3 ∙ 4) + ..... + 1/{n(n + 1)} = n/(n + 1)।
दिए गए कथन में n = 1 रखने पर, हम पाते हैं
एलएचएस = 1/(1 ∙ 2) = और आरएचएस = 1/(1 + 1) = 1/2।
एलएचएस = आरएचएस।
अत: P(1) सत्य है।
माना P(k) सत्य है। तब,
पी(के): 1/(1 ∙ 2) + 1/(2 ∙ 3) + 1/(3 ∙ 4) + ..... + 1/{के (के + 1)} = के/(के + 1) ....(i)
अब 1/(1 ∙ 2) + 1/(2 ∙ 3) + 1/(3 ∙ 4) + ..... + 1/{k(k + 1)} + 1/{(k + 1) (के + 2)}
[1/(1 ∙ 2) + 1/(2 ∙ 3) + 1/(3 ∙ 4) + ..... + 1/{के(के + 1)}] + 1/{(के + 1 )(के + 2)}
= के/(के + 1)+1/{ (के + 1)(के + 2)}।
{के(के + 2) + 1}/{(के + 1)²/[(के + 1)के + 2)] ...(ii) का उपयोग कर
= {के (के + 2) + 1}/{(के + 1) (के + 2}
= {(के + 1)²}/{(के + 1) (के + 2)}
= (के + 1)/(के + 2) = (के + 1)/(के + 1 + 1)
⇒ P(k + 1): 1/(1 ∙ 2) + 1/(2 ∙ 3) + 1/(3 ∙ 4) + ……… + 1/{ k(k + 1)} + 1/{ (के + 1) (के + 2)}
= (के + 1)/(के + 1 + 1)
⇒ P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इस प्रकार, P(1) सत्य है और P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
प्रश्न 13. गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए
{1/(3 ∙ 5)} + {1/(5 ∙ 7)} + {1/(7 ∙ 9)} + ……. + 1/{(2n + 1)(2n + 3)} = n/{3(2n + 3)}.
समाधान:
माना कथन P(n) है। तब,
पी(एन): {1/(3 ∙ 5) + 1/(5 ∙ 7) + 1/(7 ∙ 9) + ……. + 1/{(2n + 1)(2n + 3)} = n/{3(2n + 3).
दिए गए कथन में n = 1 रखने पर, हम पाते हैं
और LHS = 1/(3 ∙ 5) = 1/15 और RHS = 1/{3(2 × 1 + 3)} = 1/15।
एलएचएस = आरएचएस
अत: P(1) सत्य है।
माना P(k) सत्य है। तब,
पी(के): {1/(3 ∙ 5) + 1/(5 ∙ 7) + 1/(7 ∙ 9) + …….. + 1/{(2k + 1)(2k + 3)} = के/{3(2के + 3)} ….. (i)
अब, 1/(3 ∙ 5) + 1/(5 ∙ 7) + ..…… + 1/[(2k + 1)(2k + 3)] + 1/[{2(k + 1) + 1 }2(के + 1) + 3
= {1/(3 ∙ 5) + 1/(5 ∙ 7) + ……. + [1/(2k + 1)(2k + 3)]} + 1/{(2k + 3)(2k + 5)}
= k/[3(2k + 3)] + 1/[2k + 3)(2k + 5)] [उपयोग (i)]
= {के (2के + 5) + 3}/{3(2के + 3) (2के + 5)}
= (2k² + 5k + 3)/[3(2k + 3)(2k + 5)]
= {(के + 1)(2के + 3)}/{3(2के + 3)(2के + 5)}
= (के + 1)/{3(2के + 5)}
= (के + 1)/[3{2(के + 1) + 3}]
= पी (के + 1): 1/(3 ∙ 5) + 1/(5 ∙ 7) + …….. + 1/[2k + 1)(2k + 3)] + 1/[{2(के) + 1) + 1}{2(के + 1) + 3}]
= (के + 1)/{3{2(के + 1) + 3}]
⇒ P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इस प्रकार, P(1) सत्य है और P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार, n ∈ N के लिए P(n) सत्य है।
प्रश्न 14. आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि 3n - 1, 2 से विभाज्य है, सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
समाधान:
जब n = 1, P(1) = 31 - 1 = 2 जो 2 से विभाज्य है।
अत: P(1) सत्य है।
अब हम मानते हैं कि P(k) सत्य है या 3k - 1, 2 से विभाज्य है।
जब पी(के + 1),
3k + 1 - 1= 3k x 3 - 1 = 3k x 3 - 3 + 2 = 3(3k - 1) + 2
चूँकि (3k - 1) और 2 दोनों 2 से विभाज्य हैं, यह सिद्ध होता है कि 2 से विभाज्य सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
प्रश्न 15. गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए
1/(1 ∙ 2 ∙ 3) + 1/(2 ∙ 3 ∙ 4) + …….. + 1/{n(n + 1)(n + 2)} = {n(n + 3)}/ {4(n + 1)(n + 2)} सभी n ∈ N के लिए।
समाधान:
चलो पी (एन): 1/(1 ∙ 2 ∙ 3) + 1/(2 ∙ 3 ∙ 4) + ……। + 1/{n(n + 1)(n + 2)} = {n(n + 3)}/{4(n + 1)(n + 2)} ।
दिए गए कथन में n = 1 रखने पर, हम पाते हैं
LHS = 1/(1 ∙ 2 ∙ 3) = 1/6 और RHS = {1 × (1 + 3)}/[4 × (1 + 1)(1 + 2)] = ( 1 × 4)/( 4 × 2 × 3) = 1/6।
इसलिए बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
इस प्रकार, दिया गया कथन n = 1 के लिए सत्य है, अर्थात, P(1) सत्य है।
माना P(k) सत्य है। तब,
पी(के): 1/(1 ∙ 2 ∙ 3) + 1/(2 ∙ 3 ∙ 4) + ......... + 1/{के(के + 1)(के + 2)} = {के( के + 3)}/{4 (के + 1) (के + 2)}। ……।(मैं)
अब, 1/(1 ∙ 2 ∙ 3) + 1/(2 ∙ 3 ∙ 4) + ……….. + 1/{k(k + 1)(k + 2)} + 1/{(k + 1) (के + 2) (के + 3)}
= [1/(1 ∙ 2 ∙ 3) + 1/(2 ∙ 3 ∙ 4) + ……….. + 1/{के(के + 1)(के + 2}] + 1/{(के + 1)(के + 2)(के + 3)}
= [{के (के + 3)}/{4 (के + 1) (के + 2)} + 1/{(के + 1) (के + 2) (के + 3)}]
[उपयोग (मैं)]
= {के (के + 3)² + 4}/{4 (के + 1) (के + 2) (के + 3)}
= (k³ + 6k² + 9k + 4)/{4(k + 1)(k + 2)(k + 3)}
= {(के + 1) (के + 1) (के + 4)}/{4 (के + 1) (के + 2) (के + 3)}
= {(के + 1) (के + 4)}/{4 (के + 2) (के + 3)
⇒ P(k + 1): 1/(1 ∙ 2 ∙ 3) + 1/(2 ∙ 3 ∙ 4) + ………….. + 1/{(k + 1)(k + 2)( के + 3)}
= {(के + 1) (के + 2)}/{4 (के + 2) (के + 3)}
⇒ P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इस प्रकार, P(1) सत्य है और P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
प्रश्न 16. आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि n2 - 3n + 4 सम है और यह सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए सत्य है।
समाधान:
जब n = 1, P (1) = 1 - 3 + 4 = 2 जो एक सम संख्या है।
अत: P(1) सत्य है।
अब हम मानते हैं कि P (k) सत्य है या k2 - 3k + 4 एक सम संख्या है।
जब पी (के + 1),
(के + 1)2 - 3(के + 1) + 4
= के2 + 2के + 1 - 3के + 3 + 4
= k2 - 3k + 4 + 2(k + 2)
चूँकि k2 - 3k + 4 और 2(k + 2) दोनों सम हैं, इसलिए योग भी एक सम संख्या होगी।
अतः यह सिद्ध हुआ कि n2 - 3n + 4 सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए भी सत्य है।
प्रश्न 17. गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए
{1 - (1/2)}{1 - (1/3)}{1 - (1/4)} ....... {1 - 1/(n + 1)} = 1/(n + 1 ) सभी n ∈ N के लिए।
समाधान:
माना कथन P(n) है। तब,
पी(एन): {1 - (1/2)}{1 - (1/3)}{1 - (1/4)} ....... {1 - 1/(एन + 1)} = 1 /(एन + 1)।
जब n = 1, LHS = {1 - (1/2)} = ½ और RHS = 1/(1 + 1) = ½।
इसलिए बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
अत: P(1) सत्य है।
माना P(k) सत्य है। तब,
पी(के): {1 - (1/2)} {1 - (1/3)} {1 - (1/4)} ....... [1 - {1/(के + 1)}] = 1/(के + 1)
अब, [{1 - (1/2)}{1 - (1/3)}{1 - (1/4)} ……. [1 - {1/(k + 1)}] ∙ [ 1 - {1/(के + 2)}]
= [1/(के + 1)] ∙ [{(के + 2 ) - 1}/(के + 2)}]
= [1/(के + 1)] ∙ [(के + 1)/(के + 2)]
= 1/(के + 2)
इसलिए p(k + 1): [{1 - (1/2)}{1 - (1/3)}{1 - (1/4)} ....... [1 - {1/(k + 1)}] = 1/(के + 2)
⇒ P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इस प्रकार, P(1) सत्य है और P(k + 1) सत्य है, जब भी P(k) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।
प्रश्न 18 - 1 - 1/2n, n = 0 के लिए मान होगा
हल - 1 - 1/2n के लिए, n = 0
1 - 1/2n = 1 - 1/2.0 = 1 - ∞ = ∞
प्रश्न 19- यदि 13 को 2 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा
हल 13 = 6.2 + 1 (शेष प्रमेय द्वारा)
शेषफल = 1
प्रश्न 20 - यदि 25 को 5 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या होगा
हल - 25 = 5.5 + 0 (शेष प्रमेय द्वारा)
शेष = 0
प्रश्न 21- n2< 5 n के किस मान के लिए सत्य है
हल - nn< 5, n के किस मान के लिए
एन = 1, 2
प्रश्न 22- n2+ 1< 5 n के किस मान के लिए सत्य है
हल - n2+ 1< 5 , n के किस मान के लिए
एन = 1
प्रश्न 23- एक = ? अगर ए = 2, एन = 3
हल - an = ?
अगर ए = 2, एन = 3
23 = 2.2.2 = 8
प्रश्न 24- क्या n(n+1)(n+2) 3 का गुणक है
हल - हमें पहले n = 1 को देखना होगा
एन(एन+1)(एन+2) = 1.2.3 =6
एन = 2
एन(एन+1)(एन+2) = 2.3.4 = 24
n(n+1)(n+2) 3 का गुणक है
प्रश्न 25 - 41n - 14n का गुणज है
हल - 41एन - 14एन
एन = 1 पर
41एन - 14एन = 411 - 141
= 41 - 14
= 27
