बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत लघु उत्तरीय प्रश्न

1: 4ⁿ, n = 2 के  लिए मान होगा 

हल: दिया है 

P(n) = 4ⁿ
n = 2 के  लिए
4² = 16

2: 2^{n + 1} , n = 1  के  लिए मान होगा 

हल: दिया है 

P(n) = 2^{n + 1}
n = 1  के  लिए
2^{n + 1} = 2^{1 + 1} = 2²
= 4

3: n²+ 3n, n = 1  के  लिए मान होगा 

हल: दिया है 

P(n) = n²+ 3n
n = 1  के  लिए
n²+ 3n = 1²+ 3.1 
= 4

4: 2²ⁿ , n = 0  के  लिए मान होगा 

हल: दिया है 

P(n) = 2²ⁿ
n = 0  के  लिए
2²ⁿ = 2^{2 🇽 0} = 2⁰ = 1

5: n³+ 5n , n = 0  के  लिए मान होगा 

हल: दिया है 

P(n) = n³+ 5n 
n = 0  के  लिए
n³+ 5n  = 0³+ 5.0 = 0

6: n(n + 1), n = 0 के  लिएमान होगा 

हल: दिया है 

P(n) =n(n + 1) 
n = 0  के  लिए
n(n + 1)  = 0(0 + 1)
= 0 

7: n(n + 1), n = 1 के  लिए मान होगा 

हल: दिया है 

P(n) =n(n + 1) 
n = 1 के  लिए
n(n + 1)  = 1(1 + 1)
= 2

8: 1+2+3+4+5+.............+ 25 = ?

हल: 1+2+3+4+5+.............+ 25 = ?

1+2+3+4+5+.............+ n = n(n+1)/2
n = 25
= 25(25+1)/2
= 25.26/2
= 25.13
= 325

9: 1+2+3+4+5+.............+50 = ?

हल:  1+2+3+4+5+.............+ 50 = ?

1+2+3+4+5+.............+ n = n(n+1)/2
n = 50
= 50(50+1)/2
=50.51/2
=25.51
=1275

10:  1 से लेकर  n तक के प्राकृतिक संख्याओं के जोड़ का सूत्र -

हल: n(n+1)/2

11: 1 से लेकर n तक के प्राकृतिक संख्याओं वर्गों के जोड़ का सूत्र -

हल: n(n+1)(2n +1)/6

12: 1 से लेकर  n तक के प्राकृतिक संख्याओं के घनों के जोड़ का सूत्र -

हल: (n(n+1)/2)²

13: 10^2n-1+ 1,  किस संख्या से विभाज्य है

हल: पहले हम n = 1 पे 

10^2n-1+ 1 = 10^{2. 1 -1}+ 1
= 10 + 1 
= 11

14: 10²ⁿ  किस छोटी संख्या से विभाज्य है 

हल: 2 

15: 10²ⁿ, n = 1  के  लिए सत्य है

हल: 10²ⁿ n = 1  के  लिए

10²ⁿ = 10^2.1 = 10²
= 100 

16: 4ⁿ+ 15n - 1  किस छोटी  संख्या विभाज्य है 

हल: 4ⁿ+ 15n - 1  को पहले हम n = 1 पे 

4ⁿ+ 15n - 1 = 4¹ + 15.1  - 1
= 18 
2 से 

17: 4ⁿ+ 15n - 1, n = 2 के लिए मान होगा 

हल: 4ⁿ+ 15n - 1, n = 2 के  लिए 

4ⁿ+ 15n - 1 = 4² + 15.2  - 1
= 16 + 30 - 1 
= 45 

18: 1 - 1/2n,  n = 0     के  लिए मान होगा 

हल: 1 - 1/2n,  n = 0     के  लिए
1 - 1/2n =  1 - 1/2.0 = 1- ∞ = ∞

19: यदि 13 को 2 विभाजित किया जाता है तो शेष क्या होगा 

हल: 13 = 6.2 + 1 (शेषफल प्रमेय से )
शेष = 1 

20: यदि 25 को 5  विभाजित किया जाता है तो शेष क्या होगा 

हल: 25 = 5.5 + 0  (शेषफल प्रमेय से )
शेष = 0 

21:  n²< 5, n  के किस मान के लिये सत्य है 

हल: n²< 5, n  के किस मान के लिये 
n = 1,2

22: n²+ 1< 5 , n  के किस मान के लिये सत्य है

हल: n2+ 1< 5 ,n  के किस मान के लिये

n = 1

23: aⁿ= ? यदि a = 2 , n = 3

हल: aⁿ= ? 

यदि a = 2 , n = 3
2³= 2.2.2 = 8

24: क्या n(n+1)(n+2), 3 का गुणज है 

हल: हमे पहले n = 1 पर देखना होगा 

n(n+1)(n+2) = 1.2.3 =6 
n = 2  पर देखना होगा 
n(n+1)(n+2) = 2.3.4  = 24 

हा, n(n+1)(n+2), 3 का गुणज है  

25: 41ⁿ - 14ⁿ  किसका गुणज है 

हल: 41ⁿ - 14ⁿ
n = 1 पर 

41ⁿ - 14ⁿ = 41¹ - 14¹ 
= 41 - 14 
= 27