बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1- यदि 4x + i(3x - y) = 3 + i (- 6), जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं, तब x और ज्ञात कीजिए ।
हल - हमे दिया गया
4x + i (3x - y) = 3 + i ( - 6).......... (i)
दोनों ओर के वास्तविक तथा काल्पनिक भागों को समान लेते हुए, हमें प्राप्त होता है,
4x = 3, 3x - y = - 6,
जिन्हें युगपत् हल करने पर, x = 34 और y = 334
प्रश्न 2- 2 - 3i का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
हल
मान लिया z = 2 - 3i
तब z = 2 + 3i और | z |2 = 22 + (-3)2 = 13
इसलिए, 2-3i का गुणात्मक प्रतिलोम
z-1= z| z |2 = 2 + 3i 13 = 213 + 313i
ऊपर दिया गया सारा हल निम्नलिखित ढंग से भी दिखाया जा सकता है
प्रश्न 3- सम्मिश्र संख्या द=1+i√3 को ध्रुवीय रूप में निरूपित कीजिए।
हल- माना 1 = r cos , √3 = r sin
दोनों तरफ का वर्ग करके और जोड़ने पर हमें प्राप्त है,
r2 (cos2 + sin2) = 4
अर्थात्
r = √4 = 2 (प्रतिदर्श रूप से, r>0)
इसलिए
cos = 1/2 , sin = √3 /2
इनसे प्राप्त होता है = /3
इसलिए अपेक्षित ध्रुवीय रूप z = 2( cos/3+isin /3)
प्रश्न 4- यदि a तथा b धन वास्तविक संखयाए है तो सिद्ध कीजिए
-a .-b = - ab
हल -
LHS -
-a .-b
-a =a i
.-b = .b i
= -a .-b
= a i.b i
= i2ab
= - ab
प्रश्न 4- 2+3i4-5i को a + ib के रूप मे व्यक्त कीजिए |
हल - 2+3i4-5i = 2+3i4-5i . 4+5i4+5i
= 8+10i+12i+15i216-25i2
= 8+10i+12i+15i216-25i2
= -7+22i41
= -741 + 22i41
प्रश्न 5- 2 - 3i गुणात्मक प्रतिलोम क्या होगा ?
हल - 2 - 3i गुणात्मक प्रतिलोम = 1 2 - 3 i
= 1 2 - 3 i . 2 + 3 i2 + 3 i
= 2 + 3 i4 + 9 i2
= 2 + 3 i13
= 2 13 + 3i 13
प्रश्न 6 - 1 2 + 3 i का वास्तविक भाग ज्ञात कीजिए ?
हल - 1 2 + 3 i
= 1 2 + 3 i . 2 -3 i 2 -3 i
= 2 -3 i 4 - 9 i2
= 2 -3 i 13
= 2 13 - 3 i 13
वास्तविक भाग = 2 13
प्रश्न 8 - यदि + = /2 है तो (( cos +i sin )(cos + i sin )) का मान ज्ञात कीजिए |
हल - ( cos +i sin )(cos + i sin )
= cos(+) +i sin(+)
= cos/2 + i sin/2
= 0+ i.1
= i
प्रश्न 9- यदि a +i b c +i d = x + i y तो सिद्ध कीजिए कि
a2 + b2 c2 + d2 = x2 + y2
हल :
हल : दिया है कि
a +i b c +i d = x + i y
| a +i b c +i d = x + i y|
|a +i b|2 |c +i d|2 =| x + i y|2
a2 + b2 c2 + d2 = x2 + y2
प्रश्न 10 - x2- 4x + 29 = 0 को गुणनखंड विधि द्वारा हल कीजिए :
हल दिया है -
x2- 4x + 29 = 0
( x2- 4x + 4 ) + 25 = 0
( x- 2 )2 + 25 = 0
( x- 2 )2 - 25i2 = 0
( x- 2 )2 - (5i)2 = 0
((x-2) - 5i) ((x-2) + 5i) =0
(x-2) - 5i = 0 , (x-2) + 5i = 0
x = 2+5i , 2-5i
प्रश्न 11- का वास्तविक मान ज्ञात कीजिए :
3+2 i sin 1-2 i sin मात्र वास्तविक है
हल - हमे प्राप्त है
3+2 i sin 1-2 i sin
= 3+2 i sin 1-2 i sin . 1+2 i sin 1+2 i sin
= 3+6isin+2isin-4sin21+4sin2
= 3+sin21+4sin2
