बिहार बोर्ड कक्षा 11 गणित अध्याय 7 क्रमचय और संचय दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1- किसी कक्षा में 10 लड़के और 8 लड़कियाँ हैं। कक्षा-शिक्षक मोनिटर के पद के लिए एक विद्यार्थी का चुनाव करना चाहता है। कितने प्रकार से कक्षा-शिक्षक यह चुनाव कर सकता है?
हल: शिक्षक, मोनिटर पद के लिए विद्यार्थी का चुनाव दो प्रकार से कर सकता हैः
10 लड़कों में एक लड़के का चुनाव 10 प्रकार से किया जा सकता है, या
8 लड़कियों में एक लड़की का चुनाव 8 प्रकार से किया जा सकता है।
अतः योग के मौलिक सिद्धांत से, या तो एक लड़का या एक लड़की का 10 + 8 = 18 प्रकार से चुनाव किया जा सकता है।
प्रश्न 2- एक कक्षा में 10 लड़के और 8 लड़कियाँ है। शिक्षक कक्षा का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक लड़का और एक लड़की का चुनाव करना चाहता है। कितने प्रकार से शिक्षक यह चुनाव कर सकता है?
हल: शिक्षक इसे निम्नलिखित दो प्रकार से कर सकता हैः
10 लड़कों में एक लड़के का चुनाव 10 प्रकार से किया जा सकता है
8 लड़कियों में एक लड़की का चुनाव 8 प्रकार से किया जा सकता है।
अभीष्ट प्रकार = 10 × 8 = 80
प्रश्न 3-एक शतरंज के बोर्ड से कितने वर्ग बनाये जा सकते हैं?
हल: एक शतरंज का बोर्ड 9 बराबर भागों वाले ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाओं से बना होता है। 1 × 1 वर्ग बनाने के लिए हमें दी गई रेखाओं में से दो क्रमागत ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाओं को चुनना होगा। यह 8 × 8 = 8² प्रकार से चुना जा सकता है।
एक 2 × 2 वर्ग के लिए तीन क्रमागत ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाओं की जरूरत होती है और इसे हम 7 × 7 = 7² प्रकार से कर सकते है।
इस तरह से, कुल वर्गो की संख्या = 8² + 7² +6² … +2² + 1²
= 
प्रश्न 4- कितने तरीके से 5 पुरस्कारों को 4 लड़कों में वितरित किया जा सकता है जब प्रत्येक लड़का सभी पुरस्कारों को लेने योग्य है?
हल: कोई भी एक पुरस्कार 4 तरीके से दिया जा सकता है तब शेष 4 पुरस्कारों में कोई भी एक पुरस्कार पुनः चार तरीकों से दिया जा सकता है।
इस तरह से, 5 पुरस्कारों को 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁵ तरीके से दिया जा सकता है।
प्रश्न 5-शब्द SULTANGANJ के अक्षरों से कितने शब्द बनाये जा सकते हैं?
हल - शब्द SULTANGANJ में कुल 10 अक्षर हैं, जिसमें A और N दो-दो बार आते हैं।
∴ अभीष्ट संख्या = 
प्रश्न 6- 5 स्वरों का उपयोग कर 3 अक्षर वाले कितने भिन्न-भिन्न शब्द बनाये जा सकते हैं, यदि A उसमें शामिल नहीं हों?
हल: कुल अक्षर (n) = 5 इसलिए कुल तरीके = n-1Pr = 5-1P3 = ⁴P₃ = 24
प्रश्न 7- n!(n - r)! का मान ज्ञात कीजिए यदि n = 6 & r = 2
हल - n!(n - r)! = ?
n = 6 & r = 2
6!(6 - 2)! = 6!4 != 6.5.4 !4 ! =
= 30
प्रश्न 8 - प्रश्न 7- n!(n - r)! का मान ज्ञात कीजिए यदि n = 9 & r = 5
हल - n!(n - r)! = ?
n = 9 & r = 5
9 !(9 - 5 )! = 9 !4 != 9.8.7.6.5.4 !4 ! = 9.8.7.6.59.8.7.6.5
= 15120
प्रश्न 9- 8 P3 का मान ज्ञात कीजिए
हल - 
8 !(8-3)! = 8 !5 ! = 8.7.6.5 !5 ! = 8.7.6 = 336
प्रश्न 10- ज्ञात कीजिए r , 5 4pr= 6 5pr-1
हल - यहाँ पर
5 4pr= 6 5pr-1
5. 4 !(4 -r )! = 6. 5 !(5 -r +1 )!
5 !(4 -r )! = 6. 5 !(5 -r +1 )!(5-r )(5-r -1 )!
(6 - r )(5 - r ) = 6
(r - 8 )(r - 3 ) = 0
r = 8,3
प्रश्न 11- 4 लाल, 3 पोली तथा 2 हरी डिस्कों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि एक ही रंग को डिस्कों में कोई अंतर नहीं है ?
हल - डिस्कों को कुल संख्या 4+3+2 = 9 है इन 9 डिस्कों में से 4 डिस्के एक प्रकार की (लाल). 3 डिस्के दूसरे प्रकार की (पीली) तथा 2 डिस्के तीसरे प्रकार की (हरी) हैं।
इस प्रकार डिस्कों को व्यवस्थित करने की संख्या 9!/ 4! 3! 2! =1260.
प्रश्न 12- ज्ञात कीजिए कि शब्द SUNDAY के सभी अक्षरों को साथ लेकर कुल कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
हल : हम देखते हैं कि शब्द SUNDAY में 6 विभिन्न अक्षर हैं।
अतः शब्दों की अभीष्ट संख्या = सभी 6 अक्षरों को लेकर बने विन्यासों की संख्या = 6 p6 = 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
प्रश्न 13 - ज्ञात कीजिए कि शब्द LOGARITHMS के अक्षरों में से 4 अक्षर लेकर कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?
हल: हम देखते हैं कि शब्द LOGARITHMS में 10 विभिन्न अक्षर हैं।
अतः शब्दों की अभीष्ट संख्या = 10 अक्षरों में से 4 अक्षर एक साथ लेकर बने विन्यासों की संख्या
= 10 p4 = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040
प्रश्न 14 - ज्ञात कीजिए कि शब्द ORANGE के अक्षरों से कितने ऐसे शब्द बनाए जा सकते है से प्रारम्भ होते हैं?
हल: हम देखते हैं कि शब्द ORANGE में 6 विभिन्न अक्षर हैं।
यदि O का स्थान प्रारम्भ में नियत कर दिया जाए तो शेष 5 अक्षरों को 5p5 प्रकार से विन्यसित किया जा सकता है |
अत: O से प्रारम्भ होने वाले शब्दों की संख्या = 5 p5 = 5 ! = 5x 4x 3 x 2 x 1 = 120
प्रश्न 15 - शब्द MOHAN के अक्षरों में से तीन अक्षरों को अलग-अलग कितनी तरह से क्रमबद्ध किए जा सकते है?
शब्द MOHAN में 5 विभिन्न अक्षर हैं।
अतः क्रमचयों की संख्या =
= 
प्रश्न 16- शब्द KAPTANGANJ के अक्षरों से कितने शब्द बनाये जा सकते हैं?
हल - शब्द KAPTANGANJ में कुल 10 अक्षर हैं, जिसमें A और N दो-दो बार आते हैं।
∴ अभीष्ट संख्या = 
प्रश्न 17 - 5C3 का मान ज्ञात कीजिए
हल - 5C3 = ?
n Cr = n !r ! .(n - r )!
= 5 !3 ! .(5 -3 )!
= 5 !3 ! 2 !
= 5.4.3 !3 ! 2 !
= 10
प्रश्न 18- 6 C1 का मान ज्ञात कीजिए
हल - 6 C1 = ?
n Cr = n !r ! .(n - r )!
= 6 !1 ! .(6 - 1 )!
= 6 !1 ! 5 !
= 6. 5 !1 ! 5 !
= 6
प्रश्न 19- ब्रिज के खेल में ताश के पत्तों को इस प्रकार बांटने की विधियों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक खिलाड़ी को एक बादशाह प्राप्त हो जाए।
हल - 4 बादशाहों को 4 खिलाड़ियों में बांटने की विधियों की संख्या = 4!
तथा शेष 48 पत्तों को 4 खिलाड़ियों में बराबर-बराबर बाँटने की विधियों की संख्या
48 !(12!)4
अतः गुणन सिद्धान्त से,
विधियों की अभीष्ट संख्या = 4! x 48 !(12!)4
प्रश्न 20 - एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है। 3 Head तथा 2 Tail प्राप्त करने की विधि की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: सिक्के की 5 उछालों में से
3 उछालो में Head प्राप्त करने की विधियों की संख्या = 5C3
शेष 2 उछालों में दोनों ही Tail प्राप्त करने की विधियों की संख्या= 2 C2
= अतः गुणन सिद्धान्त से,
5 उछालों में 3 Head तथा 2 Tail प्राप्त करने की विधियों की संख्या = 5C3 x 2 C2 = (5x4x3 / 3x2x1) x 1 = 10
प्रश्न 22- 5 बच्चों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है कि उनके दो विशेष बच्चे हमेशा एक साथ हों?
हल - हम 2 विशेष बच्चों को एक साथ लेकर व्यवस्था पर विचार करते हैं
और इसलिए शेष 4 को 4! में व्यवस्थित किया जा सकता है = 24 तरीके। पुनः दो विशेष
बच्चों को मिलाकर दो तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए, व्यवस्था के कुल तरीके 24 × 2 = 48 हैं ।
प्रश्न 23 5 बच्चों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है कि उनके दो विशेष बच्चे कभी एक साथ न हों।
हल - 5! = 5 बच्चों के 120 क्रमचय, 48 ऐसे हैं जिनमें दो बच्चे
एक साथ हैं। शेष 120 – 48 = 72 क्रमचय में, दो विशेष बच्चे
कभी एक साथ नहीं होते हैं।
प्रश्न 24 - ज्ञात कीजिए कि ₹ 1, 50 पैसा, 25 पैसा तथा 10 पैसा के एक-एक सिक्के से कितनी विभिन्न धनराशि बनाई जा सकती हैं?
हल: सिक्कों की कुल संख्या = 4 सभी सिक्के अलग-अलग प्रकार के हैं। सिक्कों से विभिन्न धनराशियाँ बनाने के लिए हमें कम-से-कम एक सिक्के का चयन करना होगा।
हम जानते हैं कि n विभिन्न वस्तुओं में से कम-से-कम एक वस्तु का चयन (2n - 1) विधियों से किया जा सकता है अतः दिए हुए 4 विभिन्न सिक्कों से बनाई जा सकने वाली विभिन्न धनराशियों की संख्या = 24 - 1 = 16-1 = 15
प्रश्न 25- 8! + 5! = ?
हल - 8! + 5! = 8 × 7 × 6 × 5! + 5! = 5! × (8 × 7 × 6 + 1) = 5! × 337
= 120×337
= 40440
