बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 1 संबंध तथा फलन लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1:x और y संख्याओं को ज्ञात करो
(x, y) = (1,2)

उत्तर: दिया है (x, y) =(1, 2)
अतः
x= 1,
y= 2

प्रश्न 2: x और y संख्याओं को ज्ञात करो
(x+1,y) = (0,2)

उत्तर: दिया है (x+1,y) = (0,2)
अतः
x+1 = 0
x = - 1,
y = 2

प्रश्न 3:x और y संख्याओं को ज्ञात करो
(x+1,y-2) = (0,1)

उत्तर: दिया है (x+1,y-2) = (0,1)
अतः 
x+1 = 0
x = - 1,
y-2 = 1
y = 2+1
y = 3

प्रश्न 4: यदि A = {3,5}, B = {2,4}, तो A×B ज्ञात करो । दिखाओ कि य़ह B×A के बराबर नहीं है। 

उत्तर: दिया है A = {3,5}, B = {2,4} 
इसलिए A×B = {(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}
तथा B×A = {(2,3),(2,5),(4,3),(4,5)}
A×B तथा B×A के सभी अवयव भिन्न- भिन्न हैं। 
इसलिए A×B बराबर नहीं B×A के। 

प्रश्न 5: यदि A={1,2}, तो समुच्चय A×A×A ज्ञात कीजिए ।

उत्तर: ∵ A= {1,2}
∴A×A= {1,2},{1,2}
={(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)}

A×A×A = {(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)}
= {(1,1,1),(1,1,2),(2,1,1),(2,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,2,1),(2,2,2)}

प्रश्न 6: यदि A={0,-1},B={0,1} तो दिखाइए कि A×B≠B×A. 

उत्तर: A×B= {(0,0)(0,1),(-1,0)(-1,1)}
तथा B×A= {(0,0),(0,-1),(1,0),(1,-1)}
A×B≠B×A

प्रश्न 7: मान लिजिए कि A = {0, 1, 2, 3} तथा A में एक संबंध R निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित कीजिए।
R = {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 3)
क्या R स्वतुल्य, सममित, संक्रामक हैं?

उत्तर: R स्वतुल्य तथा सममित है, परंतु संक्रामक नहीं है, क्योंकि (1, 0) ∈ R तथा (0, 3) ∈ R जबकि (1, 3) ∉ R

प्रश्न 8: समुच्चय A = {1, 2, 3} के लिए एक संबंध R नीचे लिखे अनुसार परिभाषित कीजिए।
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3)}
उन क्रमित युग्मों को लिखिए, जिनको R में जोड़ने से वह न्यूनतम (छोटे से छोटा) तुल्यता संबंध बन जाए।

उत्तर: (3,1) एक अकेला क्रमित युग्म है जिसको R मेें जोड़ने से वह छोटे से छोटा तुल्यता संबंध बन जाता है।

प्रश्न 9: मान लीजिए कि R = {(a, b) : संख्या 2, a – b को विभाजित करती है। द्वारा परिभाषित संबंध R पूर्णांक के समुच्चय Z में तुल्यता संबंध हैं। तुल्यता वर्ग (0) लिखिए।

उत्तर: [0] = {0, ± 2, ± 4, ± 6,…}

प्रश्न 10: मान लिजिए कि फलन f : R → R , f (x) = 4x – 1, ∀ x ∈ R द्वारा परिभाषित है, तो सिद्ध कीजिए कि f ऐकैकी है।

उत्तर: किन्हीं दो अवयव x1, x2 ∈ R, इस प्रकार कि f (x1) = f (x2), के लिए 4×1 – 1 = 4×2 – 1

⇒ 4×1= 4×2, vFkkZr~ x1= x2
अतः f एकैकी है।

प्रश्न 11: यदि f = {(5, 2), (6, 3)}, g = {(2, 5), (3, 6)} तो f o g लिखिए।

उत्तर: f o g = {(2, 2), (3, 3)}

प्रश्न 12: मान लिजिए कि f : R → R, f (x) = 4x – 3 ∀ x ∈ R. द्वारा परिभाषित एक फलन है, तो f –1 लिखिए।

उत्तर: दिया हुआ है कि f (x) = 4x – 3 = y] मान लिजिए, तो
4x = y + 3
x = y + 3 ∕ 4
अंतः f –1 (y) = y + 3 ∕ 4

प्रश्न 13: क्या Z(पूर्णांकों का समुच्चय) में m * n = m – n + mn ∀ m, n ∈ Z द्वारा परिभाषित द्विआधारी-संक्रिया क्रम-विनिमेय है।

उत्तर: क्रमविनिमेय नहीं है, क्योंकि 1, 2 ∈ Z rFkk 1 * 2 = 1 – 2 + 1.2 = 1 जब कि 2 * 1 = 2 – 1 + 2.1 = 3 इस प्रकार 1 * 2 ≠ 2 * 1.

प्रश्न 14: यदि f = {(5, 2), (6, 3)} तथा g = {(2, 5), (3, 6)} तो f तथा g के परिसर लिखिए।

उत्तर: f का परिसर {2, 3} तथा g का परिसर = {5, 6}

प्रश्न 15: यदि A = {1, 2, 3} तथा f, g, A × A के उप-समुच्चय के संग निम्नलिखित प्रकार सूचित संबंध हैं

f = {(1, 3), (2, 3), (3, 2)}
g = {(1, 2), (1, 3), (3, 1)}

f तथा g में से कौन फलन हैं और क्यों

उत्तर: f एक फलन है क्योंकि क्रमित युग्मों में प्रथम स्थान (घटक) में A का प्रत्येक अवयव द्वितीय स्थान (घटक) में A के केवल एक ही अवयव से संबंधित है जब कि g एक फलन नहीं है क्योंकि 1, A के एक से अधिक अवयवों से संबंधित है, नामतः 2 तथा 3 से।

प्रश्न 16: यदि A = {a, b, c, d} तथा f = {a, b), (b, d), (c, a), (d, c)} तो सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है तथा A से A पर आच्छादी है।  f-1 ज्ञात कीजिए।

उत्तर: f एकैकी है, क्योंकि A का प्रत्येक अवयव समुच्चय A के एक अद्वितीय अवयव से निर्दिष्ट (संबंधित) है। साथ ही f आच्छादी है, क्योंकि f (A) = A। इसके अतिरिक्त –1 = {(b, a), (d, b), (a, c), (c, d)}.

प्रश्न 17: प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में m * n = g.c.d (m, n), m, n ∈ N द्वारा द्वी-आधारी-संक्रिया परिभाषित कीजिए। क्या संक्रिया क्रमविनिमय तथा साहचर्य है।

उत्तर: सक्रिया स्पष्टतः क्रम-विनिमेय हैं, क्योंकि
m * n = g.c.d (m, n) = g.c.d (n, m) = n * m ∀ m, n ∈ N

यह साहचर्य भी है, क्योंकि l, m, n ∈ N के लिए
l * (m * n) = g. c. d (l, g.c.d (m, n))
= g.c.d. (g. c. d (l, m), n)
= (l * m) * n

प्रश्न 18: यदि f ऐसा फलन हो कि f(x) =x-1,तो f(0),f(-1),f(2),f(3),f(12) के मान बताओ

हल: f(x) = x-1
f(0) = 0-1 = -1
f(1) = 1-1 = 0
f(-1) = -1-1 = -2
f(2) = 2-1 = 1
f(3) = 3-1 = 2
f(12) = 12-1 = 11

प्रश्न 19: यदि A={-2,-1,0,1,2} और f:A⤳R जहाँ f, f(x) =x2+1 से परिभाषित है, तो f की रेंज ज्ञात करो। 

हल: f(x)=x2+1
f(x)=x2+1
f(-2)=(-2)2+1=5
f(-1)=(-1)2+1=2
f(0)=02+1=1
f(1)=12+1=2
f(2)=22+1=5

अतः f की रेंज {1,2,5}. 

प्रश्न 20: आच्छादक प्रतिचित्रण की परिभाषा लिखिए। 

उत्तर: फलन f={x, y} :y=|x|, x एक पूर्णांक है} 
आच्छादक प्रतिचित्रण है क्योंकि Y के सभी अवयव धन पूर्णांक हैं और प्रत्येक पूर्णांक का निरपेक्ष मान |x| एक धन पूर्णांक होता है अतः प्रत्येक धन पूर्णांक किसी न किसी पूर्णांक से संबंधित है इसी प्रकार Y के सभी अवयव X के अवयवों के प्रतिबिंब है। 
{f(x) =Y, x𝝐X}

प्रश्न 21: एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण की परिभाषा लिखिए। 

उत्तर: यदि कोईप्रति चित्रण आच्छादक भी हो और एकैकी भी हो तो उसे एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण भी कहते हैं, प्रतीकात्मक भाषा में:
f(x1)=f(x2) x1=x2, x1,x2A
fA=B

प्रश्न 22: प्रतिचित्रण अथवा फलन की परिभाषा दीजिए तथा उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिए। 

उत्तर: प्रतिचित्रण : माना Xऔर Yदो अरिक्त समुच्चय हैं। X×Y का कोई उप समुच्चय f, X से Y में एक फलन कहलाता है। यदि समुच्चय X के प्रत्येक अवयव X के लिए समुच्चय Y में एक अद्वितीय  अवयव Y ऐसा हो कि (X, Y) € f. 
उदाहरण : {2,3,4} का {3,4,5} पर {(2,3),(3,4),(4,5)} एक फलन है। लेकिन {(2,3),(2,4),(3,5)} एक फलन नहीं है क्योंकि 2 डोमेन में दो बार आया है। 

प्रश्न 23: यदि R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा प्रतिचित्रण f=R->R, f(x) =ex. x€ Rद्वारा परिभाषित है, तो सिद्ध कीजिए कि f एकैकी प्रतिचित्रण है। 

उत्तर: माना डोमेन R के कोई दो अवयव x1औरx2 हैं। अर्थात x1, x2€R, 

तब
fx1=fx2
ex1=ex2
logex1=logex2
x1=x2

प्रतिचित्रण f एकैकी है। 

प्रश्न 24: X सभी त्रिभुजों का समुच्चय है और Y धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो सिद्ध करो कि प्रतिचित्रण 
f:X->Y जहां f(^) =त्रिभुजों का क्षेत्रफल(^€X) बहु-एक अच्छादक है। 

उत्तर: यहां f के द्वारा प्रत्येक त्रिभुज का प्रतिचित्रण ऐसी धन वास्तविक संख्या पर होता है जो उसके क्षेत्रफल के बराबर है.।
इसलिए दो अथवा दो से अधिक त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हो सकते हैं। 
इसलिए डोमेन A के दो अथवा दो से अधिक अवयवों का सह डोमेन B में एक ही f- प्रतिबिंब होगा। 
इसलिए f बहु-एक प्रतिचित्रण है। 
पुनः सहडोमेन B कि प्रत्येक वास्तविक धन संख्या, डोमेन A के किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर अवश्य होगी। 
इसलिए सहडोमेन B का प्रत्येक अवयव, डोमेन A के किसी अवयव का f-प्रतिबिंब है। 
इसलिए f, आच्छादक प्रतिचित्रण है। 
अतः f, बहु-एक आच्छादक प्रतिचित्रण है। 

प्रश्न 25: दिखाओ की समतल में स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय संबंध 'मूलबिंदु से उतनी ही दूरी पर है जितनी कि बिंदु x', तुल्यता संबंध है। 
उत्तर: माना सभी बिंदुओं का समुच्चय N है। 
यदि y, z मूल बिंदु से उतनी ही दूरी पर है जितना कि बिंदु x. 
यदि x=y तो y=x, अतः सममित संबंध है। 
x=x,  स्वतुल्य संबंध है। 
यदि x=yऔर y=z, तो संक्रामक संबंध है क्योंकि इसमें तीनों संबंध है। 
इसलिए यह तुल्यता संबंध है।