बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 10 सदिश बीजगणित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
01-यदि 2i-j+8k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-j+8k+ i-3j-7k
=2i+i+-j-3j+8k-7k
=3i-4j+k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-j+8k- i-3j-7k
=2i-i+-j+3j+8k+7k
=i+2j+15k
02-बिन्दुओ 3c-2bतथा c+b को 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3c-2bतथा c+bको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2c+b+13c-2b2+1
=5c3
बिन्दुओ 3c-2bतथा c+bको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2c+b-13c-2b2-1
=4b-c
03-यदि x+b=x-bहै तो सिद्ध कीजिये कि सदिश xतथा b परस्पर लंब है |
उत्तर-मानाAB=x तथा BC=b
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाये बराबर तथा समांतर होती है
DC=AB=x
AD=BC=b
तथा ABC में
AC=AB+BC=x+b
तथा ABD में
DB=DA+AB=-AD+AB
=x-b
दिया है कि
x+b=x-b
AC=DB
AC=DB
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर है
ABCDएक आयत है
ABBCxb
अर्थात सदिश x तथा b परस्पर लम्ब है
04-बिन्दुओ 3a-2cतथा a+cको 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3a-2cतथा a+cको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2a+c+13a-2c2+1
=5a3
बिन्दुओ 3a-2cतथा a+cको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2a+c-13a-2c2-1
=4c-a
05-यदि 2i-j-8k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-j-8k+ i-3j-7k
=2i+i+-j-3j+-8k-7k
=3i-4j-15k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-j-8k- i-3j-7k
=2i-i+-j+3j+-8k+7k
=i+2j-k
06-यदि y+b=y-bहै तो सिद्ध कीजिये कि सदिश yतथा b परस्पर लंब है |
उत्तर-मानाAB=y तथा BC=b
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाये बराबर तथा समांतर होती है
DC=AB=y
AD=BC=b
तथा ABC में
AC=AB+BC=y+b
तथा ABD में
DB=DA+AB=-AD+AB
=y-b
दिया है कि
y+b=y-b
AC=DB
AC=DB
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर है
ABCDएक आयत है
ABBCyb
अर्थात सदिश y तथा b परस्पर लम्ब है
07-यदि 2i-5j+8k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-5j+8k+ i-3j-7k
=2i+i+-5j-3j+8k-7k
=3i-8j+k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-5j+8k- i-3j-7k
=2i-i+-5j+3j+8k+7k
=i-2j+15k
08-बिन्दुओ 3a-2dतथा a+d को 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3a-2dतथा a+dको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2a+d+13a-2d2+1
=5a3
बिन्दुओ 3a-2dतथा a+dको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2a+d-13a-2d2-1
=4d-a
09-यदि a+y=a-yहै तो सिद्ध कीजिये कि सदिश aतथा y परस्पर लंब है |
उत्तर-मानाAB=a तथा BC=y
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाये बराबर तथा समांतर होती है
DC=AB=a
AD=BC=y
तथा ABC में
AC=AB+BC=a+y
तथा ABD में
DB=DA+AB=-AD+AB
=a-y
दिया है कि
a+y=a-y
AC=DB
AC=DB
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर है
ABCD एक आयत है
ABBCay
अर्थात सदिश a तथा y परस्पर लम्ब है
10-बिन्दुओ 3x-2bतथा x+bको 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3x-2bतथा x+bको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2x+b+13x-2b2+1
=5x3
बिन्दुओ 3x-2bतथा x+bको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2x+b-13x-2b2-1
=4b-x
11-यदि 2i-j+k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-j+k+ i-3j-7k
=2i+i+-j-3j+k-7k
=3i-4j-6k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-j+k- i-3j-7k
=2i-i+-j+3j+k+7k
=i+2j+8k
12-यदि a+x=a-xहै तो सिद्ध कीजिये कि सदिश a तथा x परस्पर लंब है |
उत्तर-मानाAB=a तथा BC=x
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाये बराबर तथा समांतर होती है
DC=AB=a
AD=BC=x
तथा ABC में
AC=AB+BC=a+x
तथा ABD में
DB=DA+AB=-AD+AB
=a-x
दिया है कि
a+x=a-x
AC=DB
AC=DB
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर है
ABCDएक आयत है
ABBCax
अर्थात सदिश a तथा x परस्पर लम्ब है
13-यदि 2i-j+8k तथा i-j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-j+8k+ i-j-7k
=2i+i+-j-j+8k-7k
=3i-2j+k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-j+8k- i-j-7k
=2i-i+-j+j+8k+7k
=i+0j+15k
14-बिन्दुओ 3y-2bतथा y+bको 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3y-2bतथा y+bको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2y+b+13y-2b2+1
=5y3
बिन्दुओ 3y-2bतथा y+bको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2y+b-13y-2b2-1
=4b-y
15-यदि x+y=x-yहै तो सिद्ध कीजिये कि सदिश xतथा y परस्पर लंब है |
उत्तर-मानाAB=x तथा BC=y
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाये बराबर तथा समांतर होती है
DC=AB=x
AD=BC=y
तथा ABC में
AC=AB+BC=x+y
तथा ABD में
DB=DA+AB=-AD+AB
=x-y
दिया है कि
x+y=x-y
AC=DB
AC=DB
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर है
ABCDएक आयत है
ABBCxy
अर्थात सदिश x तथा y परस्पर लम्ब है
16-बिन्दुओ 3a-2xतथा a+xको 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3a-2xतथा a+xको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2a+x+13a-2x2+1
=5a3
बिन्दुओ 3a-2xतथा a+xको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2a+x-13a-2x2-1
=4x-a
17-यदि 2i-3j+8k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-3j+8k+ i-3j-7k
=2i+i+-3j-3j+8k-7k
=3i-6j+k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-3j+8k- i-3j-7k
=2i-i+-3j+3j+8k+7k
=i+0j+15k
18-यदि c+y=c-y है तो सिद्ध कीजिये कि सदिश c तथा y परस्पर लंब है |
उत्तर-मानाAB=c तथा BC=y
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाये बराबर तथा समांतर होती है
DC=AB=c
AD=BC=y
तथा ABC में
AC=AB+BC=c+y
तथा ABD में
DB=DA+AB=-AD+AB
=c-y
दिया है कि
c+y=c-y
AC=DB
AC=DB
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर है
ABCDएक आयत है
ABBCcy
अर्थात सदिश c तथा y परस्पर लम्ब है
19-यदि 2i-2j+8k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-2j+8k+ i-3j-7k
=2i+i+-2j-3j+8k-7k
=3i-5j+k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-2j+8k- i-3j-7k
=2i-i+-2j+3j+8k+7k
=i+j+15k
20-बिन्दुओ 3x-2yतथा x+yको 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3x-2yतथा x+yको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2x+y+13x-2y2+1
=5x3
बिन्दुओ 3x-2yतथा x+yको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2x+y-13x-2y2-1
=4y-x
21-यदि a+c=a-cहै तो सिद्ध कीजिये कि सदिश aतथा c परस्पर लंब है |
उत्तर-मानाAB=a तथा BC=c
समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाये बराबर तथा समांतर होती है
DC=AB=a
AD=BC=c
तथा ABC में
AC=AB+BC=a+c
तथा ABD में
DB=DA+AB=-AD+AB
=a-c
दिया है कि
a+c=a-c
AC=DB
AC=DB
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बराबर है
ABCDएक आयत है
ABBCac
अर्थात सदिश a तथा c परस्पर लम्ब है
22-बिन्दुओ 3c-2d तथा c+dको 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3c-2dतथा c+dको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2c+d+13c-2d2+1
=5c3
बिन्दुओ 3c-2dतथा c+dको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2c+d-13c-2d2-1
=4d-c
23-यदि 2i-j+6k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-j+6k+ i-3j-7k
=2i+i+-j-3j+6k-7k
=3i-4j-k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-j+6k- i-3j-7k
=2i-i+-j+3j+6k+7k
=i+2j+13k
24-बिन्दुओ 3r-2sतथा r+sको 2:1अनुपात में अंतः तथा बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दुओ के स्तिथि सदिश ज्ञात कीजिये
उत्तर-बिन्दुओ 3r-2sतथा r+sको 2:1अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2r+s+13r-2s2+1
=5r3
बिन्दुओ 3r-2sतथा r+sको 2:1अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु का
स्तिथि सदिश =2r+s-13r-2s2-1
=4s-r
25-यदि 2i-j+7k तथा i-3j-7k का योगफल तथा अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर- दिए हुए सदिशों का योगफल =2i-j+7k+ i-3j-7k
=2i+i+-j-3j+7k-7k
=3i-4j+0k
दिए हुए सदिशों का अंतर =2i-j+7k- i-3j-7k
=2i-i+-j+3j+7k+7k
=i+2j+14k
