बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 11 त्रि-विमीय ज्यामिति लघु उत्तरीय प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न
01- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-1 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-1
x-11=y-11=z-11 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-11=y-11=z-11 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,1,1 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
02- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-2 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-1=y-1=z-2
x-11=y-11=z-21 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-11=y-11=z-21 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,1,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
03- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-21है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-21
x-12=y-21=z-21 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-12=y-21=z-21 2,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+12+12 , m=122+12+12, n=122+12+12
l=26 , m=16, n=16
04 -बिंदु 1,2,3 से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 3i+2j-2k के समांतर है |
उत्तर -बिंदु 1,2,3 का स्तिथि सदिश a=i+2j+3k
रेखा के समांतर सदिश b=3i+2j-2k
अतः सूत्र r=a+tb से
अभीष्ट रेखा का समीकरण r=i+2j+3k+t3i+2j-2k
r=1+3ti+2+2tj+3-2tk
05- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-22=y-21=z-21है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-22=y-21=z-21
x-22=y-21=z-21 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-22=y-21=z-21 2,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु2,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+12+12 , m=122+12+12, n=122+12+12
l=26 , m=16, n=16
06 -बिंदु 2,3,4 से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 4i+2j-3k के समांतर है |
उत्तर -बिंदु 1,2,3 का स्तिथि सदिश a=2i+3j+4k
रेखा के समांतर सदिश b=4i+2j-3k
अतः सूत्र r=a+tb से
अभीष्ट रेखा का समीकरण r=2i+3j+4k+t4i+2j-3k
r=2+4ti+3+2tj+4-3tk
07- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-22है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-21=z-22
x-12=y-21=z-22 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-12=y-21=z-22 2,1,2 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,1,2हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+12+22 , m=122+12+22, n=222+12+22
l=23 , m=13, n=23
08 -बिंदु 4,3,4 से होकर जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये जो सदिश 4i+5j-3k के समांतर है |
उत्तर -बिंदु 1,2,3 का स्तिथि सदिश a=4i+3j+4k
रेखा के समांतर सदिश b=4i+5j-3k
अतः सूत्र r=a+tb से
अभीष्ट रेखा का समीकरण r=4i+3j+4k+t4i+5j-3k
r=4+4ti+3+5tj+4-3tk
09- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-22है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-22
x-12=y-22=z-22 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-12=y-22=z-22 2,2,2 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,2,2हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+22+22 , m=222+22+22, n=222+22+22
l=13 , m=13, n=13
10- बिंदु 2i-5j+10k से जाने वाली तथा सदिश 5i-3j+2k के समांतर सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिये |
उत्तर- बिंदु a=2i-5j+10k से जाने वाली तथा सदिश b=5i-3j+2k के समांतर सरल रेखा का समीकरण : rb=ab
r5i-3j+2k=2i-5j+10k5i-3j+2k
r5i-3j+2k=
r5i-3j+2k=20i+46j+19k
11- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-5=y-5=z-5 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-5=y-5=z-5
x-51=y-51=z-51 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-51=y-51=z-51 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु5,5,5 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
12- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिंदु i+j+k होकर जाती है तथा सदिशों 2i+4j-3k एवं i+j-2k के समांतर है |
उत्तर- बिंदु a= i+j+k से जाने वाले तथा सदिशों b=2i+4j-3k एवंc=i+j-2k के समांतर समतल का समीकरण: r=a+tb+sc
r=i+j+k+t2i+4j-3k+si+j-2k
r=1+2t+si+1+4t+sj+1-3t-2sk
13- बिन्दुओ i+j-k ,i-j+3kतथा 3i+4j-2kसे होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये|
उत्तर- बिंदु a=i+j-k,b=i-j+3kतथा c=3i+4j-2k से होकर जाने वाली समतल समीकरण:r=a+tb-a+s c-a
r=i+j-k+ti-j+3k-i+j-k+s3i+4j-2k-i+j-k
r=i+j-k+t-2j+4k+s2i+3j-k
r=1+2si+1-2t+3sj+-1+4t-sk
14- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 11 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+j+3k पर लम्ब है |
उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=11 इकाई
तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+j+3k
इसलिए n=nn=i+j+3k12+12+32
n=nn=i+j+3k11
अतः समतल का समीकरण rn=p
ri+j+3k11=11
ri+j+3k=1111
15-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये
rs-2ti+3-tj+2s+tk=25
उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है
दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर
समतल का कार्तीय समीकरण xi+yj+zks-2ti+3-tj+2s+tk=25
s-2tx+3-ty+2s+tz=25
16- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-3=y-3=z-3 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-3=y-3=z-3
x-31=y-31=z-31 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-31=y-31=z-31 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु3,3,3 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
17- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिंदु 2i+2j+2k होकर जाती है तथा सदिशों 2i+4j-3k एवं i+j-2k के समांतर है |
उत्तर- बिंदु a=2i+2j+2k से जाने वाले तथा सदिशों b=2i+4j-3k एवंc=i+j-2k के समांतर समतल का समीकरण: r=a+tb+sc
r=2i+2j+2k+t2i+4j-3k+si+j-2k
r=2+2t+si+2+4t+sj+2-3t-2sk
18- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-2=y-3=z-4 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-2=y-3=z-4
x-21=y-31=z-41 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-21=y-31=z-41 1,1,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु2,3,4 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 1,1,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=112+12+12 , m=112+12+12, n=112+12+12
l=13 , m=13, n=13
19- बिन्दुओ 2i+3j-k ,i-2j+3kतथा 3i+4j-2k से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये|
उत्तर- बिंदु a=2i+3j-k,b=i-2j+3kतथा c=3i+4j-2k से होकर जाने वाली समतल समीकरण:r=a+tb-a+s c-a
r=2i+3j-k+ti-2j+3k-2i+3j-k+s3i+4j-2k-2i+3j-k
r=2i+3j-k+t-i-5j+4k+si+j-k
r=2-t+si+3-5t+sj+-1+4t-sk
20- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 12 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+4j+3k पर लम्ब है |
उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=12 इकाई
तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+4j+3k
इसलिए n=nn=i+4j+3k12+42+32
n=nn=i+4j+3k26
अतः समतल का समीकरण rn=p
ri+4j+3k26=12
ri+4j+3k=1226
21-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये
rs-2ti+3-tj+2s+tk=15
उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है
दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर
समतल का कार्तीय समीकरण xi+yj+zks-2ti+3-tj+2s+tk=15
s-2tx+3-ty+2s+tz=15
22- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-21 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-22=z-21
x-12=y-22=z-21 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-12=y-22=z-21 2,2,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,2,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+22+12 , m=222+22+12, n=122+22+12
l=23 , m=13, n=13
23-निम्नलिखित समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये
rs-2ti+5-tj+2s+tk=15
उत्तर- r समतल पर स्तिथ किसी स्वेच्छ बिंदु x,y,zका स्तिथि सदिश है
दिए हुए समीकरण में r=xi+yj+zk रखने पर
समतल का कार्तीय समीकरण xi+yj+zks-2ti+5-tj+2s+tk=15
s-2tx+5-ty+2s+tz=15
24- उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिंदु से 14 इकाई दूरी पर तथा सदिश i+4j+3k पर लम्ब है |
उत्तर- समतल की मूलबिंदु से दूरी p=14 इकाई
तथा समतल पर लम्ब सदिश n=i+4j+3k
इसलिए n=nn=i+4j+3k12+42+32
n=nn=i+4j+3k26
अतः समतल का समीकरण rn=p
ri+4j+3k26=14
ri+4j+3k=1426
25- एक रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-2-2=z-21 है रेखा की दिक - कोसाइन ज्ञात कीजिये
उत्तर- रेखा का कार्तीय समीकरण x-12=y-2-2=z-21
x-12=y-2-2=z-21 x,y,z के गुणांकों को 1 बनाने पर
x-12=y-2-2=z-21 2,-2,1 के ल. स. से भाग देने पर
उपरोक्त रेखा बिंदु1,2,2 से होकर जाती है तथा जिसके दिक् - अनुपात 2,-2,1हैं
अतः रेखा की दिक् - कोसाइन
l=222+22+12 , m=-222+22+12, n=122+22+12
l=23 , m=-23, n=13
