बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
1-यदि tan-1x=45 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ tan-1x=45
या x=tan(45)
तब cos-1x=cos-1{tan(45)}
2-यदि sin-1x=π4 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ sin-1x=π4=45o
या x=sin45o=12
अब cos-1x=cos-112=45o=π4
अत: cos-1x=π4
3-यदि tan-156=A तो sinA का मान बताइए |
हल-∵ tan-156=A
या tanA=56
अब sinA=tanA1+tan2A
sinA=561+2536=566136
sinA=56616=561
अब sinA=561
4-cot( tan-15) का मान ज्ञात कीजिये |
हल-cot( tan-15)=cot(cot-115)
या cot( tan-15)=15
अत:cot( tan-15)=15
5-cot( tan-15) का मान ज्ञात कीजिये |
हल-cot( tan-15)=cot(cot-115)
या cot( tan-15)=15
अत:cot( tan-15)=15
6-sec( cos-113) का मान ज्ञात कीजिये |
हल-sec( cos-113)=sec( sec-13)
याsec( cos-113)=3
अत:sec( cos-113)=3
7-cot-1(-3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना cot-1(-3)=cot=-3
∵ cot-1x का मुख्य मान इस प्रकार है कि
0 <cot-1x <π या 0<θ<π
साथ ही cot का मान ऋणात्मक है
π2 <θ<π
cotθ=-3=-cot5π6=cot(π-5π6)
cot=cotπ6
θ=5π6
8-sin-1(32) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना sin-1(32)=x
तब sinx=32= sinπ3
∴ x=π3
अब sin-1(32) = sin-1(sinπ3 )
∴ sin-1(32)=π3
अत:sin-1(32)का मुख्य मानπ3 है |
9-tan-1(-3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना tan-1(-3)=x)
तब tanx=-3
∴ tanx=-tanπ3 =tan(-π3 )
∴ x=-π3
अत: tan-1(-3)का मुख्य मान-π3 है |
10-cosec-1(2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना cosec-1(2)=x)
तबcosecx=2=cosecπ4
अब cosec-1(2)=cosec-1(cosecπ4 )
∴ cosec-1(2)=π4
अत: cosec-1(2)का मुख्य मानπ4 है |
11-sec-1(2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना sec-1(2)=x)
तबsecx=2=secπ4
अब sec-1(2)= sec-1(secπ4 )
∴ sec-1(2)=π4
अत: sec-1(2)का मुख्य मानπ4 है |
12-tan-1(13) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना tan-1(13)=x)
तब tanx=13=tanπ6
अब tan-1(13)=tan-1(tanπ6 )
∴ tan-1(13)=π6
अत: tan-1(13)का मुख्य मानπ6 है |
13 -यदि tan-1x=7 13 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ tan-1x=7 13
या x=tan(7 13 )
तब cos-1x=cos-1{tan(7 13 )}
14 -यदि sin-1x=π3 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ sin-1x=π3 =60o
या x=sin60o=32
अब cos-1x=cos-132=30o=π6
अत: cos-1x=π6
15-यदि tan-125=A तो sinA का मान बताइए |
हल-∵ tan-125=A
या tanA=25
अब sinA=tanA1+tan2A
sinA=251+425=252925
sinA=25295=229
अब sinA=229
16-सिद्ध कीजिये :2tan-1ba=cos-1a-ba+b
हल-माना 2tan-1ba=A
tan-1ba=A2
या tanA2=ba
tan2A2=ba
अब cosA=1-tan2A21+tan2A2
cosA=1-ba 1+ba
cosA=a-b a+b
A=cos-1(a-b a+b )
अत:2tan-1ba=cos-1a-ba+b
17-सिद्ध कीजिये :tan-112+tan-113=π4
हल-बायाँ पक्ष =tan-112+tan-113
=tan-112+tan-113
=tan-112+131-1213
=tan-13+266-16
=tan-155
=tan-11
=π4
=दायाँ पक्ष
अत:tan-112+tan-113=π4
18-सिद्ध कीजिये : 2tan-113+tan-117=π4
हल-बायाँ पक्ष =2tan-113+tan-117
= 2tan-113+tan-117
=tan-12131-(13)2+tan-117
=tan-1239-19+tan-117
=tan-134+tan-117
=tan-134+171-3417
=tan-121+42828-328
=tan-12525
=tan-11
=π4
=दायाँ पक्ष
अत: 2tan-113+tan-117=π4
19-सिद्ध कीजिये :tan-1a+cot-1(a+1)=tan-1(a2+a+1)
हल-बायाँ पक्ष =tan-1a+cot-1(a+1)
=tan-1a+tan-11a+1
=tan-112+131-1213
=tan-1a+1a+11-a1a+1
=tan-1a2+a+1a+1a+1-aa+1
=tan-1(a2+a+1)
=दायाँ पक्ष
अत:tan-1a+cot-1(a+1)=tan-1(a2+a+1)
20-सिद्ध कीजिये :tan-1a+tan-1b=cos-11-ab(1+a2)(1+b2)
हल-बायाँ पक्ष =tan-1a+tan-1b
=tan-1a+b1-ab=A(माना )
∴ tanA=a+b1-ab
अब cosA=11+tan2A
=11+(a+b1-ab)2
=1(1-ab)2+(a+b)2(1-ab)
=1-ab1+a2b2-2ab+a2+b2+2ab
=1-ab1+a2b2+a2+b2
या cosA=1-ab(1+a2)(b2+1)
या A=cos-11-ab(1+a2)(b2+1)
=दायाँ पक्ष
अत:tan-1a+tan-1b=cos-11-ab(1+a2)(1+b2)
21-सिद्ध कीजिये : tan-1ab-tan-1a-ba+b=π4
हल-बायाँ पक्ष =tan-1ab-tan-1a-ba+b
= tan-1ab-a-ba+b1-aba-ba+b
=tan-1a(a+b)-b(a-b)b(a+b)b(a+b)+a(a-b)b(a+b)
=tan-1a2+ab-ab+b2ab+b2+a2-ab
=tan-1a2+b2a2+b2
=tan-11
=π4
=दायाँ पक्ष
अत: tan-1ab-tan-1a-ba+b=π4
22-सिद्ध कीजिये :tan-12+tan-13+tan-14=tan-135
हल-बायाँ पक्ष =tan-12+tan-13+tan-14
=tan-12+31-23+tan-14
=tan-1(-1)+tan-14
=tan-1-1+41-(-1)4
=tan-135
=दायाँ पक्ष
अत:tan-12+tan-13+tan-14=tan-135
23-सिद्ध कीजिये :sin-112+2cos-112=5π6
हल-बायाँ पक्ष =sin-112+2cos-112
=30o+260o
=30o+120o
=150o
=5π6
=दायाँ पक्ष
अत:sin-112+2cos-112=5π6
24-सिद्ध कीजिये :cot-16+cot-168=cot-1913
हल-बायाँ पक्ष=cot-16+cot-168
=tan-116+tan-168
=tan-113+681-1368
=tan-18+1824912
=tan-12612249
=cot-1913
=दायाँ पक्ष
अत:cot-16+cot-168=cot-1913
25-सिद्ध कीजिये :sin-1y+cos-1y=π2
हल-बायाँ पक्ष =sin-1y+cos-1y ...........(1)
माना sin-1y=A या sinA=y
या cos(π2 -A)=y
(π2 -A)=cos-1y
A=π2 -cos-1y
=sin-1y
समीकरण (1) से ,
π2 -cos-1y+cos-1y=π2
=दायाँ पक्ष
अत:sin-1y+cos-1y=π2
