बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन लघु उत्तरीय प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न
1-यदि tan-1x=34 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ tan-1 x=34
या x=tan(34)
तब cos-1 x=cos-1{tan(34)}
2-यदि sin-1x=π3 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ sin-1 x=π3 = 60o
या x=sin60o = 32
अब cos-1 x = cos - 132=30o = π6
अत: cos-1x=π6
3-यदि tan-134=A तो sinA का मान बताइए |
हल-∵ tan-134=A
या tanA=34
अब sinA=tanA1+tan2A
sinA=341 + 916 = 342516
sinA=3454=35
अब sinA=35
4-cot( tan-13) का मान ज्ञात कीजिये |
हल-cot ( tan-13) = cot (cot-113)
या cot ( tan-13) = 13
अत: cot ( tan-13) = 13
5-cot( tan-13) का मान ज्ञात कीजिये |
हल-cot ( tan-13)=cot (cot-113)
या cot( tan-13)=13
अत:cot( tan-13)=13
6-sec( cos-112) का मान ज्ञात कीजिये |
हल-sec( cos-112)=sec( sec-12)
याsec( cos-112)=2
अत:sec( cos-112)=2
7-cot-1(-13) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना cot-1(-13)=cot=-13
∵ cot-1 x का मुख्य मान इस प्रकार है कि
0 <cot-1x <π या 0<θ<π
साथ ही cot का मान ऋणात्मक है
π2 <θ<π
cotθ=-13=-cotπ3=cot(π-π3)
cot=cot2π3
θ=2π3
8-sin-1(12) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना sin-1 (12)=x
तब sinx=12= sinπ4
∴ x=π4
अब sin-1 (12) = sin-1 (sinπ4 )
∴ sin-1 (12)=π4
अत:sin-1 (12)का मुख्य मानπ4 है |
9-tan-1(-1) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना tan-1(-1)=x)
तब tanx=-1
∴ tanx=-tanπ4 =tan(-π4 )
∴ x=-π4
अत: tan-1(-1)का मुख्य मान-π4 है |
10-cosec-1(2) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना cosec-1 (2)=x)
तबcosecx=2=cosecπ6
अब cosec-1 (2)=cosec-1(cosecπ6 )
∴ cosec-1 (2)=π6
अत: cosec-1 (2)का मुख्य मानπ6 है |
11-sec-1 (23) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना sec-1 (23)=x)
तबsecx = 23 = secπ6
अब sec-1 (23)= sec-1 (secπ6 )
∴ sec-1 (23)=π6
अत: sec-1 (23)का मुख्य मानπ6 है |
12-tan-1 (3) का मुख्य मान ज्ञात कीजिये |
हल-माना tan-1 (3)=x)
तब tanx = 3=tanπ3
अब tan-1 (3) = tan-1 (tanπ3 )
∴ tan-1 (3) = π3
अत: tan-1 (3) का मुख्य मान π3 है |
13 -यदि tan-1x=5 12 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ tan-1 x = 5 12
या x=tan (5 12 )
तब cos-1 x=cos-1 {tan(5 12 )}
14 -यदि sin-1 x = π6 तो cos-1x का मान बताइए |
हल-∵ sin-1x=π6 =30o
या x=sin30o = 12
अब cos-1 x = cos-112 = 60o = π3
अत: cos-1 x = π3
15-यदि tan-1512=A तो sinA का मान बताइए |
हल-∵ tan - 1512 = A
या tanA = 512
अब sinA = tanA1 + tan2A
sinA = 5121 + 25144 = 512169144
sinA=5121312=513
अब sinA=513
16-सिद्ध कीजिये :2tan-1ba = cos-1 a-ba+b
हल-माना 2 tan-1 ba = A
tan-1 ba = A2
या tanA2=ba
tan2A2=ba
अब cosA=1- tan2A21 + tan2A2
cosA=1-ba 1+ba
cosA=a-b a+b
A=cos-1 (a-b a+b )
अत:2tan-1ba = cos-1 a - ba + b
17-सिद्ध कीजिये :tan-112+tan-113=π4
हल-बायाँ पक्ष =tan-1 12 + tan-1 13
=tan-1 12+tan-113
=tan-1 12+131-1213
=tan-13+266-16
=tan-155
=tan-11
=π4
=दायाँ पक्ष
अत: tan-1 12 + tan-1 13=π4
18-सिद्ध कीजिये : 2tan-113+tan-117=π4
हल-बायाँ पक्ष =2 tan-1 13 + tan-1 17
= 2tan-1 13 + tan-1 17
=tan-1 2131-(13) 2 + tan-1 17
=tan-1 239-19 + tan-1 17
=tan-1 34 + tan-1 17
=tan-1 34 + 171 -3 417
=tan-1 21 + 42828 - 328
=tan-1 2525
=tan-1 1
=π4
=दायाँ पक्ष
अत: 2tan-113+tan-117=π4
19-सिद्ध कीजिये :tan-1a+cot-1(a+1)=tan-1(a2+a+1)
हल-बायाँ पक्ष = tan-1 a + cot-1 (a+1)
=tan-1 a + tan-1 1 a + 1
=tan-1 12 + 131 - 1213
=tan-1 a + 1a + 11-a1a + 1
=tan-1 a2 + a + 1a + 1a + 1-aa + 1
=tan-1 (a2+a+1)
=दायाँ पक्ष
अत:tan-1 a + cot-1 (a+1) = tan-1 (a2+a+1)
20-सिद्ध कीजिये :tan-1a+tan-1b=cos-11-ab(1+a2)(1+b2)
हल-बायाँ पक्ष =tan-1 a + tan-1 b
=tan-1 a + b1 - ab = A (माना )
∴ tanA = a + b1 - ab
अब cosA = 11 + tan2A
=11 + (a + b1 - ab)2
=1 (1-ab)2 + (a+b) 2 (1-ab)
=1-ab1 + a2b2 - 2ab + a2 + b2 + 2ab
=1-ab1 + a2b2 + a2 + b2
या cosA = 1-ab (1+a2) (b2+1)
या A = cos-11-ab (1+a2) (b2+1)
=दायाँ पक्ष
अत: tan-1 a + tan-1 b = cos-11 -ab (1+a2) (1+b2)
21-सिद्ध कीजिये : tan-1 ab-tan-1 a - ba+b = π4
हल-बायाँ पक्ष =tan-1 ab - tan-1 a - ba+b
= tan-1 ab - a - ba + b1 - aba - ba + b
=tan-1 a (a+b) -b (a-b) b (a+b) b (a+b) +a (a-b) b (a+b)
=tan-1 a2 + ab - ab + b2ab + b2 + a2 - ab
=tan-1 a2 + b2a2 + b2
=tan-1 1
=π4
=दायाँ पक्ष
अत: tan-1 ab - tan - 1a - ba + b = π4
22-सिद्ध कीजिये : tan-1 1 + tan-12 + tan-13 = π
हल-बायाँ पक्ष =tan-1 1 + tan-12 + tan-13
=tan-1 1 + 21-12 + tan-13
=tan-1 (-3) + tan-13
=tan-1 -3 + 31 - (-3) 3
=tan-10
=π
=दायाँ पक्ष
अत:tan-11+tan-12+tan-13=π
23-सिद्ध कीजिये : sin-132 + 2cos - 132 = 2π3
हल-बायाँ पक्ष =sin-132+2cos-132
=60o + 230o
=60o + 60o
=120o
=2π3
=दायाँ पक्ष
अत:sin-132 + 2cos - 132 = 2π3
24-सिद्ध कीजिये : cot-13 + cot - 134 = cot-113
हल-बायाँ पक्ष=cot-13+cot-134
=tan-1 13 + tan-1 143
=tan-1 13 + 431 - 1343
=tan-1 5359
=tan-1 3
=cot-113
=दायाँ पक्ष
अत:cot-13 + cot - 134 = cot-113
25-सिद्ध कीजिये : sin-1 x + cos-1 x = π2
हल-बायाँ पक्ष = sin-1 x + cos-1 x ...........(1)
माना sin-1 x = A या sinA = x
या cos (π2 -A) = x
(π2 -A) = cos-1x
A=π2 - cos-1 x
=sin-1x
समीकरण (1) से ,
π2 -cos-1x+cos-1x=π2
=दायाँ पक्ष
अत:sin-1x+cos-1x=π2
