बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
01 secx5 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=secx5
और माना t=x5
∴y=sec t
t के सापेक्ष अवकलन से,dyd5=sec ttan t=sec x5tan x5
t=x5
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=5x5-1
∴dydx=dydtdtdx
=sec x5tan x55x5-1
∴dydx=5sec x5tan x5
02-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=b पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन cf , x=b पर सतत है|
उत्तर-xb(cf)(x)= xb{cf(x)}
=cxbf(x)
=cf(b)
=cf(b)
अतः फलनc f, x=b पर सतत है|
03-सिद्ध कीजिए कि फलन f(t)=2t-1,tR,t=1पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(1)=t1+f(t)-f(1)t-1=h0f(1+h)-f(1)(1+h)-1
=h02+2h-1-2-1h=h02h-0h
=h02hh=h02=2
Lf'(1)=t1+f(t)-f(1)t-1=h0f(1-h)-f(1)(1-h)-1
=h02-2h-1-2-1-h=h02h-0h
=h02h-h=h0-2=-2
Rf'(1)Lf'(1)
अतः f(t),t=1 पर अवकलनीय नहीं हैं |
04-sinxp का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=sinxp
और माना t=xp
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos xp
t=xp
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=pxp-1
∴dydx=dydtdtdx
=cos xppxp-1
∴dydx=pxp-1cos xp
05-यदि f:[1,1]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो
सिद्ध कीजिए कि f(-1)f(1)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-1)=f(1)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-1,1) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-1,1) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f(-1)f(1)
06-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=2x-1,xR,x=1पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(1)=x1+f(x)-f(1)x-1=h0f(1+h)-f(1)(1+h)-1
=h02+2h-1-2-1h=h02h-0h
=h02hh=h02=2
Lf'(1)=x1+f(x)-f(1)x-1=h0f(1-h)-f(1)(1-h)-1
=h02-2h-1-2-1-h=h02h-0h
=h02h-h=h0-2=-2
Rf'(1)Lf'(1)
अतः f(x),x=1 पर अवकलनीय नहीं हैं |
07-अचर फलन एक सतत फलन है|
उत्तर-माना f(x)=k, जहां k एक अचर है
हम जानते हैं कि अचर फलन का प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है
माना a एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है
तब xaf(x)=xak=k तथा f(a)=k
इसलिए xaf(x)=f(a)
फलन f(x), x=a पर सतत है|
परन्तु a एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है
अतः फलन f(x),R पर सतत है|
अर्थात f(x) एक सतत फलन है |
08-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=x2-7x+3,x के सभी मानो के लिए एक सतत फलन है जहां xR
उत्तर-
दिया है f(x)=x2-7x+3
हम जानते हैं कि f(x) का प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है
माना a एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है
तब xaf(x)=xa=(x2-7x+3) =a2-7a+3
f(a)=a2-7a+3
xaf(x)=f(a)
इसलिए फलन f(x), x=a पर सतत है|
परन्तु a एक स्वेच्छ वास्तविक संख्या है
अतः फलन f(x),R पर सतत है|
अर्थात f(x) ,x के सभी मानो के लिए एक सतत फलन है जहाँ xR
09-sinx4 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=sinx4
और माना t=x4
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos x4
t=x4
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=4x4-1
∴dydx=dydtdtdx
=cos x44x4-1
∴dydx=4x3cos x4
10-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=nx-n,xR,x=n पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(n)=x1+f(x)-f(n)x-n
=h0f(n+h)-f(n)(n+h)-n
=h0nn+nh-n-nn-nh
=h0nh-0h
=h0nhh
=h0n=n
Lf'(n)=x1+f(x)-f(n)x-n
=h0f(n-h)-f(n)(n-h)-n
=h0nn-nh-n-nn-n-h
=h0nh-0h
=h0nh-h
=h0-n=-n
Rf'(n)Lf'(n)
अतः f(x),x=n पर अवकलनीय नहीं हैं |
11-यदि f:[-11,11]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो
सिद्ध कीजिए कि f(-11)f(11)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-11)=f(11)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-11,11) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-11,11) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f(-11)f(11)
12-सिद्ध कीजिए कि फलन f(t)=2t-1,tR,t=1पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(1)=t1+f(t)-f(1)t-1=h0f(1+h)-f(1)(1+h)-1
=h02+2h-1-2-1h=h02h-0h
=h02hh=h02=2
Lf'(1)=t1+f(t)-f(1)t-1=h0f(1-h)-f(1)(1-h)-1
=h02-2h-1-2-1-h=h02h-0h
=h02h-h=h0-2=-2
Rf'(1)Lf'(1)
अतः f(t),t=1 पर अवकलनीय नहीं हैं |
13-sinx5 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=sinx5
और माना t=x5
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos x5
t=x5
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=5x4
∴dydx=dydtdtdx
=cos x55x4
∴dydx=5x4cos x5
14- a तथा b के मान ज्ञात कीजिए यदि फलन
x=c पर अवकलनीय है |
उत्तर- दिया है कि f(x),x=2 पर अवकलनीय है |
हम जानते हैं कि यदि f(x),x=2 पर अवकलनीय है तो f(x),x=2 पर सतत होता है
इसलिए f(x),x=2 पर सतत है
तब, x2-f(x)=x2+f(x)=f(2)
x2x2=x2(ax+b)=22
22=2a+b...................(1)
∵ f(x),x=2 पर अवकलनीय है
∴ Lf'=Rf'(2)x2-f(x)-f(2)x-2=x2+f(x)-f(2)x-2
x2x2-22x-2=x2(ax+b)-22x-2
x2(x+2)=x2(ax+b)-(2a+b)x-2 (1)से
2+2=x2a(x-2)x-2
22=aa=4
इसलिए (1)से ,
22=222+b
22=222+b
b=-22
अतः a=4 तथा b=-4
15-यदि f:[3,3]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो सिद्ध कीजिए कि f(-3)f(3)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-3)=f(3)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-3,3) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-3,3) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f(-3)f(3)
16-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=mx-m,xR,x=m पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(m)=x1+f(x)-f(m)x-m
=h0f(m+h)-f(m)(m+h)-m
=h0mm+mh-m-mm-mh
=h0mh-0h
=h0mhh
=h0m=m
Lf'(m)=x1+f(x)-f(m)x-m
=h0f(m-h)-f(m)(m-h)-m
=h0mm-mh-m-mm-m-h
=h0mh-0h
=h0mh-h
=h0-m=-m
Rf'(m)Lf'(m)
अतः f(x),x=m पर अवकलनीय नहीं हैं |
17-यदि f:[-y,y]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो
सिद्ध कीजिए कि f(-y)f(y)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-y)=f(y)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-y,y) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-y,y) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f(-y)f(t)
18-sinx11 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=sinx11
और माना t=x11
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos x11
t=x11
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=11x10
∴dydx=dydtdtdx
=cos x1111x10
∴dydx=11x10cos x11
19-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=tx-t,xR,x=t पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(t)=x1+f(x)-f(t)x-t
=h0f(t+h)-f(t)(t+h)-t
=h0tt+th-t-tt-th
=h0th-0h
=h0thh
=h0t=t
Lf'(t)=x1+f(x)-f(t)x-t
=h0f(t-h)-f(t)(t-h)-t
=h0tt-th-t-tt-t-h
=h0th-0h
=h0th-h
=h0-t=-t
Rf'(t)Lf'(t)
अतः f(x),x=t पर अवकलनीय नहीं हैं |
20-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=8x-8,xR,x=8 पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(8)=x1+f(x)-f(8)x-8
=h0f(8+h)-f(8)(8+h)-8
=h088+8h-8-88-8h
=h08h-0h
=h08hh
=h08=8
Lf'(8)=x1+f(x)-f(8)x-8
=h0f(8-h)-f(8)(8-h)-8
=h088-8h-8-88-8-h
=h08h-0h
=h08h-h
=h0-8=-8
Rf'(8)Lf'(8)
अतः f(x),x=8 पर अवकलनीय नहीं हैं |
21-sinxm का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=sinxm
और माना t=xm
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos xm
t=xm
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=mxm-1
∴dydx=dydtdtdx
=cos xmmxm-1
∴dydx=mxm-1cos xm
22-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=3x-3,xR,x=3 पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(3)=x1+f(x)-f(3)x-3
=h0f(3+h)-f(3)(3+h)-3
=h033+3h-3-33-3h
=h03h-0h
=h03hh
=h03=3
Lf'(3)=x1+f(x)-f(3)x-3
=h0f(3-h)-f(3)(3-h)-3
=h033-3h-3-33-3-h
=h03h-0h
=h03h-h
=h0-3=-3
Rf'(3)Lf'(3)
अतः f(x),x=3 पर अवकलनीय नहीं हैं |
23- यदि f:[5,5]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो
सिद्ध कीजिए कि f(-5)f(5)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-5)=f(5)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-5,5) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-5,5) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f(-5)f(5)
24-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=11x-11,xR,x=11 पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(11)=x1+f(x)-f(11)x-11
=h0f(11+h)-f(11)(11+h)-11
=h01111+11h-11-1111-11h
=h011h-0h
=h011hh
=h011=11
Lf'(11)=x1+f(x)-f(11)x-11
=h0f(11-h)-f(11)(11-h)-11
=h01111-11h-11-1111-11-h
=h011h-0h
=h011h-h
=h0-11=-11
Rf'(11)Lf'(11)
अतः f(x),x=11 पर अवकलनीय नहीं हैं |
25-सिद्ध कीजिए कि फलन f(t)=t-1,tR,t=1पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(1)=t1+f(t)-f(1)t-1=h0f(1+h)-f(1)(1+h)-1
=h01+h-1-1-1h=h0h-0h
=h0hh=h01=1
Lf'(1)=t1+f(t)-f(1)t-1=h0f(1-h)-f(1)(1-h)-1
=h01-h-1-1-1-h=h0h-0h
=h0h-h=h0-1=-1
Rf'(1)Lf'(1)
अतः f(t),t=1 पर अवकलनीय नहीं हैं |
