बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता लघु उत्तरीय प्रश्न
लघु उत्तरीय प्रश्न
01-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=a पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन f +g, x=a पर सतत है|
उत्तर- ∵ फलन f एवं g, x=a पर सतत है,
xaf(x)=f(a) तथा xag(x)=g(a)....................(1)
अब,xa(f+g)(x)=xa[f(x)+g(x)]
=xaf(x)+ xag(x)
=f(a)+g(a)
=(f+g)(a)
अतः फलन f +g, x=a पर सतत है|
02-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=a पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन f -g, x=a पर सतत है|
उत्तर- ∵ फलन f एवं g, x=a पर सतत है,
xaf(x)=f(a) तथा xag(x)=g(a)....................(1)
अब,xa(f-g)(x)=xa[f(x)-g(x)]
=xaf(x)- xag(x)
=f(a)-g(a)
=(f-g)(a)
अतः फलन f -g, x=a पर सतत है|
03-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=a पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन cf , x=a पर सतत है|
उत्तर-xa(cf)(x)= xa{cf(x)}
=cxaf(x)
=cf(a)
=cf(a)
अतः फलनc f, x=a पर सतत है|
04-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=a पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन fg , x=a पर सतत है|
उत्तर-xa(fg)(x)= xa{f(x)g(x)}
=xaf(x)xag(x)
=f(a)g(a)
=fg(a)
अतः फलन fg, x=a पर सतत है|
05-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=a पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन 1f , x=a पर सतत है जबकि f(a)0
उत्तर-xa(1f)(x)= xa{1f(x)}
=1xaf(x)
=1f(a)
=1f(a)
अतः फलन 1f, x=a पर सतत है|
06-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=a पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन fg , x=a पर सतत है जबकि g(a)0
उत्तर-xa(fg)(x)= xa{f(x)g(x)}
=xaf(x)xag(x)
=f(a)g(a)
=fg(a)
अतः फलन fg, x=a पर सतत है|
07-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=x-1,xR,x=1पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(1)=x1+f(x)-f(1)x-1=h0f(1+h)-f(1)(1+h)-1
=h01+h-1-1-1h=h0h-0h
=h0hh=h01=1
Lf'(1)=x1+f(x)-f(1)x-1=h0f(1-h)-f(1)(1-h)-1
=h01-h-1-1-1-h=h0h-0h
=h0h-h=h0-1=-1
Rf'(1)Lf'(1)
अतः f(x),x=1 पर अवकलनीय नहीं हैं |
08- a तथा b के मान ज्ञात कीजिए यदि फलन
x=c पर अवकलनीय है |
उत्तर- दिया है कि f(x),x=c पर अवकलनीय है |
हम जानते हैं कि यदि f(x),x=c पर अवकलनीय है तो f(x),x=c पर सतत होता है
इसलिए f(x),x=c पर सतत है
तब, xc-f(x)=xc+f(x)=f(c)
xcx2=xc(ax+b)=c2
c2=ac+b...................(1)
∵ f(x),x=c पर अवकलनीय है
∴ Lf'=Rf'(c)xc-f(x)-f(c)x-c=xc+f(x)-f(c)x-c
xcx2-c2x-c=xc(ax+b)-c2x-c
xc(x+c)=xc(ax+b)-(ac+b)x-c (1)से
c+c=xca(x-c)x-c2c=aa=2c
इसलिए (1)से ,c2=2cc+bc2=2c2+bb=-c2
अतः a=2c तथा b=-c2
09- sinx2 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-माना y=sinx2
और माना t=x2
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos x2
t=x3
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=2x
∴dydx=dydtdtdx
=cos x22x
∴dydx=2xcos x2
10- tanx3 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=tanx3
और माना t=x3
∴y=tant
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=sec2t=sec2 x3
t=x3
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=3x2
∴dydx=dydtdtdx
=sec2 x33x2
∴dydx=3x2sec2 x3
11- secx3 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=secx3
और माना t=x3
∴y=sect
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=secttant=sec x3tan x3
t=x3
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=3x2
∴dydx=dydtdtdx
=sec x 3tan x33x2
∴dydx=3x2sec x3tan x3
12- sinxn का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=sinxn
और माना t=xn
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos xn
t=xn
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=nxn-1
∴dydx=dydtdtdx
=cos xnnxn-1
∴dydx=nxn-1cos xn
13-यदि f:[8,8]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो
सिद्ध कीजिए कि f(-8)f(8)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-8)=f(8)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-8,8) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-8,8) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f(-8)f(8)
14-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=5x-5,xR,x=5 पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(5)=x1+f(x)-f(5)x-5
=h0f(5+h)-f(5)(5+h)-5
=h055+5h-5-55-5h
=h05h-0h
=h05hh
=h05=5
Lf'(5)=x1+f(x)-f(5)x-5
=h0f(5-h)-f(5)(5-h)-5
=h055-5h-5-55-5-h
=h05h-0h
=h05h-h
=h0-5=-5
Rf'(5)Lf'(5)
अतः f(x),x=5 पर अवकलनीय नहीं हैं |
15-secxt का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=secxt
और माना t=xt
∴y=sect
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=secttant=sec xttan xt
t=xt
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=txt-1
∴dydx=dydtdtdx
=sec xttan xttxt-1
∴dydx=tsec xttan xt
16-सिद्ध कीजिए कि फलन f(y)=2y-1,yR,y=1पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(1)=y1+f(y)-f(1)y-1=h0f(1+h)-f(1)(1+h)-1
=h02+2h-1-2-1h=h02h-0h
=h02hh=h02=2
Lf'(1)=y1+f(y)-f(1)y-1=h0f(1-h)-f(1)(1-h)-1
=h02-2h-1-2-1-h=h02h-0h
=h02h-h=h0-2=-2
Rf'(1)Lf'(1)
अतः f(y),y=1 पर अवकलनीय नहीं हैं |
17-f एवं g दो वास्तविक फलन है जो बिंदु x=c पर सतत हैं तथा C एक वास्तविक संख्या है | तो दिखाइए कि
फलन f -g, x=c पर सतत है|
उत्तर- ∵ फलन f एवं g, x=c पर सतत है,
xcf(x)=f(c) तथा xcg(x)=g(c)....................(1)
अब,xc(f-g)(x)=xc[f(x)-g(x)]
=xcf(x)- xcg(x)
=f(c)-g(c)
=(f-g)(c)
अतः फलन f -g, x=a पर सतत है|
18-secx4 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=secx4
और माना t=x4
∴y=sect
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=secttan t=sec x4tan x4
t=x4
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=4x3
∴dydx=dydtdtdx
=sec x4tan x44x3
∴dydx=4x3sec x4tan x4
19-यदि f:[7,7]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो
सिद्ध कीजिए कि f(-7)f(7)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-7)=f(7)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-7,7) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-7,7) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f(-7)f(7)
20-सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=x-3,xR,x=3 पर अवकलनीय नहीं है|
उत्तर-
Rf'(3)=x1+f(x)-f(3)x-3=h0f(3+h)-f(3)(3+h)-3
=h03+h-3-3-3h=h0h-0h
=h0hh=h01=1
Lf'(3)=x1+f(x)-f(3)x-3=h0f(3-h)-f(3)(3-h)-3
=h03-h-3-3-3-h=h0h-0h
=h0h-h=h0-1=-1
Rf'(3)Lf'(3)
अतः f(x),x=3 पर अवकलनीय नहीं हैं |
21- a तथा b के मान ज्ञात कीजिए यदि फलन
x=c पर अवकलनीय है |
उत्तर- दिया है कि f(x),x=1 पर अवकलनीय है |
हम जानते हैं कि यदि f(x),x=1 पर अवकलनीय है तो f(x),x=1 पर सतत होता है
इसलिए f(x),x=1 पर सतत है
तब, x1-f(x)=x1+f(x)=f(1)
x1x2=x1(ax+b)=1
1=a+b...................(1)
∵ f(x),x=1 पर अवकलनीय है
∴ Lf'=Rf'(1)x1-f(x)-f(1)x-1=x1+f(x)-f(1)x-1
x1x2-12x-1=x1(ax+b)-12x-1
x1(x+1)=x1(ax+b)-(a+b)x-1 (1)से
1+1=x1a(x-1)x-12=aa=2
इसलिए (1)से ,12=21+b12=212+bb=-12
अतः a=2 तथा b=-1
22- sin2x का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर- माना y=sin2x
और माना t=sin x
∴y=t2
t के सापेक्ष अवकलन से,
dydt=2t=2sin x
t=sin x
x के सापेक्ष अवकलन से,
dtdx=cos x
∴dydx=dydtdtdx
=2 sin x cos x
∴dydx=2 sin x cos x
∴dydx=sin 2x
23-cos2x का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए |
उत्तर- माना y=cos2x
और माना t=cos x
∴y=t2
t के सापेक्ष अवकलन से,
dydt=2t=2cos x
t=cos x
x के सापेक्ष अवकलन से,
dtdx=-sin x
∴dydx=dydtdtdx
=-2 sin x cos x
∴dydx=-2 sin x cos x
∴dydx=-sin 2x
24-यदि f:[9,9]R एक संतत फलन है और यदि f'(x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं है तो
सिद्ध कीजिए कि f(-9)f(9)
उत्तर-यदि संभव है तो माना कि f(-9)=f(9)
इसलिए रोले के प्रमेय से c(-9,9) इस प्रकार अस्तित्व में होगा कि f'(c)=0
परंतु दिया है कि किसी भी x(-9,9) के लिए f'(x)0
इस प्रकार यह एक विरोधाभास की स्थिति है|
अतः f (-9) f (9)
25- sinx6 का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिये |
उत्तर-
माना y=sinx6
और माना t=x6
∴y=sint
t के सापेक्ष अवकलन से,dydt=cost=cos x6
t=x6
x के सापेक्ष अवकलन से,dtdx=6x5
∴dydx=dydtdtdx
=cos x66x5
∴dydx=6x5cos x6
