बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 6 अवकलज के अनुप्रयोग दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 

01- दिखाइए कि फलन

 (a) fx=6x+16  

(b) fx=x3-6x2+12x-16 ,

 R पर वर्धमान है | 

उत्तर- aमाना x1,x2R इस प्रकार है कि 

x1<x26x1<6x2

6x1+16<6x2+16

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है | 

b∵ fx=x3-6x2+12x-16

∴ f'x=3x2-12x+12

=3(x2-4x+4)

=3x-22

अब xR के लिए  ,  x-220f'x0

इसलिए f'x0  सभी  xR ,

02-aवक्र y2=4x के बिंदु 1,2पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए |

b-वक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 3,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

उत्तर-aवक्र y2=4x

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2ydydx=4

dydx=2y

बिंदु1,2 पर,

dydx=22

dydx=1

अतः  प्रवणता =1

bवक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु3,1 पर,

dydx=23-3

dydx=3

अतः  प्रवणता =3

03-वृत्त की त्रिज्या में 1 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होती है | ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 सेंटीमीटर है ?

उत्तर-माना वृत्त की त्रिज्या r सेंटीमीटर है,

त्रिज्या में वृद्धि की दर=drdt=1 सेंटीमीटर  प्रति सेकंड

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

dAdt=2rdrdt

=2101

जहां  r=10 सेमी दिया है

dAdt=20 सेमी2/सेकंड

अतः क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर 20 वर्ग सेंटीमीटर  प्रति सेकंड है

04-एक घन के कोर में  5 सेंटीमीटर प्रति सेकंड की दर से वृद्धि होती है| यदि कोर की लंबाई 10 सेंटीमीटर हो,तो घन के आयतन में किस दर से वृद्धि होगी? 

उत्तर- माना घन के कोर की लंबाई x  सेंटीमीटर है,

तब dxdt=5 सेंटीमीटर प्रति सेकंड

आयतन ,V=x3

dVdt=3x2dxdt

dVdtx=10 पर=31025

=1500 सेमी3/सेकंड

उत्तर-

05- किसी उत्पादन की y इकाई के विक्रय से प्राप्त होने वाली कुल आय Ry=5y2+35 y+7 से प्रदत्त है | जब y=9 हो, तब सीमांत आय ज्ञात कीजिए |जहां सीमांत आय से हमारा तात्पर्य किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष संपूर्ण आय के परिवर्तन की दर से है| 

उत्तर-

सीमांत आय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष आए परिवर्तन की दर होती है| 

हम जानते हैं कि 

सीमांत आय MR=10y+5

जब y=9 हो ,

तब MR=109+35=125

अतः अभीष्ट आय  अर्थात आय  प्रति इकाई 125  रुपए हैं |

06-वृत्त की त्रिज्या में 8 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होती है | ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 15 सेंटीमीटर है ?

उत्तर-माना वृत्त की त्रिज्या r सेंटीमीटर है,

त्रिज्या में वृद्धि की दर=drdt=8 सेंटीमीटर  प्रति सेकंड

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

dAdt=2rdrdt

=2158

जहां  r=15 सेमी दिया है

dAdt=240 सेमी2/सेकंड

अतः क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर 240 वर्ग सेंटीमीटर  प्रति सेकंड है

07-aअवकलन का प्रयोग करके 626 सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिये | 

bवक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 3,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए |

उत्तर-a मान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=625 तथा h=1

∴x+h=626

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

625+1=112625+625

626=150+25

=0.020+25

626=25.020

b वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु3,1 पर,

dydx=23-3

dydx=3

अतः  प्रवणता =3

08-aदिखाइए कि फलन fx=2x+15 , R पर वर्धमान है | 

(b) fx=x3-6x2+12x-16 ,

 R पर वर्धमान है | 

उत्तर- aमाना x1,x2R इस प्रकार है कि 

x1<x22x1<2x2

2x1+15<2x2+15

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है |

b∵ fx=x3-6x2+12x-16

∴ f'x=3x2-12x+12

=3(x2-4x+4)

=3x-22

अब xR के लिए  ,  x-220f'x0

इसलिए f'x0  सभी  xR ,

09-एक स्थिर झील में एक पत्थर का टुकड़ा डाला जाता है | झील में पानी की लहरें 11 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृत्ताकार पथ में गमन करती हैं | यदि वृत्त की त्रिज्या 12 सेंटीमीटर हो, तो उसके परिबद्ध क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी?

उत्तर-माना कि वृत्त की त्रिज्या =r

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

∴ समय t के सापेक्ष क्षेत्रफल A के परिवर्तन की दर है 

dAdt=ddtr2

=dr2drdrdt

dAdt=2rdrdt

drdt=11 सेमी/सेकंड ,r=12 सेमी

dAdt=21112

dAdt=264 सेमी2/सेकंड

अतः जब r=12सेमी तब वृत्त के परिबद्ध क्षेत्रफल में 264 वर्ग सेमी प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होगी | 

10-aवक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 4,5पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

bवक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 0,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

उत्तर a वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु4,5 पर,

dydx=24-3

dydx=5

अतः  प्रवणता =5

b वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु0,1 पर,

dydx=20-3

dydx=-3

अतः  प्रवणता =-3

11-एक स्थिर झील में एक पत्थर का टुकड़ा डाला जाता है | झील में पानी की लहरें 5 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृत्ताकार पथ में गमन करती हैं | यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेंटीमीटर हो, तो उसके परिबद्ध क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी?

उत्तर-माना कि वृत्त की त्रिज्या =r

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

∴ समय t के सापेक्ष क्षेत्रफल A के परिवर्तन की दर है 

dAdt=ddtr2

=dr2drdrdt

dAdt=2rdrdt

drdt=5 सेमी/सेकंड ,r=7 सेमी

dAdt=275

dAdt=70 सेमी2/सेकंड

अतः जब r=7 सेमी तब वृत्त के परिबद्ध क्षेत्रफल में 70 वर्ग सेमी प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होगी| 

12-अवकलन का प्रयोग करके 17 सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिये | 

उत्तर- मान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=16 तथा h=1

∴x+h=17

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

16+1=11216+16

17=18+4

=0.125+4

17=4.125

13-aएक घन के कोर में 4 सेंटीमीटर प्रति सेकंड की दर से वृद्धि होती है| यदि कोर की लंबाई 8 सेंटीमीटर हो,तो घन के आयतन में किस दर से वृद्धि होगी? 

bएक गेंद  सदैव गोलाकार रहता है ,का परिवर्तनशील व्यास 32(2x+1) है| x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए|

उत्तर- aमाना घन के कोर की लंबाई x  सेंटीमीटर है,

तब dxdt=4 सेंटीमीटर प्रति सेकंड

आयतन ,V=x3

dVdt=3x2dxdt

dVdtx=8 पर=3824

=768सेमी3/सेकंड

bमाना गोलाकार गेंद  की त्रिज्या r है

व्यास =2r=32(2x+1)

 r=34(2x+1)

आयतन =43r3

V=4327642x+13

V=9162x+13

dVdx=91632x+122

=2782x+12

x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर =2782x+12

14-दिखाइए कि फलनa ∵ fx=x3-272x2+27 x-16 ,b fy=y3-6y2+12y-16

 R पर वर्धमान है | 

उत्तर-a∵ fx=x3-272x2+27 x-16

∴ f'x=3x2-27x+27

=3(x2-9x+9)

=3x-32

अब xR के लिए  ,  x-320f'x0

इसलिए f'x0  सभी  xR ,

-b∵ fy=y3-6y2+12y-16

∴ f'y=3y2-12y+12

=3(y2-4y+4)

=3y-22

अब yR के लिए  ,  y-220f'y0

इसलिए f'y0  सभी  yR ,

15--aवक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 3,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

b दिखाइए कि फलन fx=2x+15 , R पर वर्धमान है | 

c-वक्र y2=4x के बिंदु 1,2पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए |

उत्तर a वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु3,1 पर,

dydx=23-3

dydx=3

अतः  प्रवणता =3

b माना x1,x2R इस प्रकार है कि 

x1<x22x1<2x2

2x1+15<2x2+15

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है |

cवक्र y2=4x

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2ydydx=4

dydx=2y

बिंदु1,2 पर,

dydx=22

dydx=1

अतः  प्रवणता =1

16-aवक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 0,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

bवक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 4,5पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

उत्तर a वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु0,1 पर,

dydx=20-3

dydx=-3

अतः  प्रवणता =-3

b  वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु4,5 पर,

dydx=24-3

dydx=5

अतः  प्रवणता =5

17-aदिखाइए कि फलन ft=2t+15 , R पर वर्धमान है | 

(b) ft=t3-6t2+12t-16 ,

 R पर वर्धमान है | 

उत्तर- aमाना t1,t2R इस प्रकार है कि 

t1<t22t1<2t2

2t1+15<2t2+15

f(t1)<f(t2)

अतः ft,सभी tR के लिए वर्धमान है |

b∵ ft=t3-6t2+12t-16

∴ f't=3t2-12t+12

=3(t2-4t+4)

=3t-22

अब tR के लिए  ,  t-220f't0

इसलिए f't0  सभी  tR ,

18-aअवकलन का प्रयोग करके 37 सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिये | 

bअवकलन का प्रयोग करके 401 सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिये |

उत्तर-a मान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=36 तथा h=1

∴x+h=37

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

36+1=11236+36

37=112+6

=0.0833+6

37=6.0833

bमान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=400 तथा h=1

∴x+h=401

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

400+1=112400+400

401=140+20

=0.025+20

401=20.025

19-किसी उत्पादन की t इकाई के विक्रय से प्राप्त होने वाली कुल आय Rt=5t2+35 t+7 से प्रदत्त है | जब t=9 हो, तब सीमांत आय ज्ञात कीजिए |जहां सीमांत आय से हमारा तात्पर्य किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष संपूर्ण आय के परिवर्तन की दर से है| 

उत्तर-

सीमांत आय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष आए परिवर्तन की दर होती है| 

हम जानते हैं कि 

सीमांत आय MR=10t+5

जब t=9 हो ,

तब MR=109+35=125

अतः अभीष्ट आय  अर्थात आय  प्रति इकाई 125  रुपए हैं |

20- (a) वृत्त की त्रिज्या में 4 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होती है | ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 सेंटीमीटर है ?

(b)एक गुब्बारा सदैव गोलाकार रहता है ,का परिवर्तनशील व्यास 32(2n+1) है| n के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए|

उत्तर- (a) माना वृत्त की त्रिज्या r सेंटीमीटर है,

त्रिज्या में वृद्धि की दर=drdt=4 सेंटीमीटर  प्रति सेकंड

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

dAdt=2rdrdt

=2104

जहां  r=10 सेमी दिया है

dAdt=80 सेमी2/सेकंड

अतः क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर 80 वर्ग सेंटीमीटर  प्रति सेकंड है

(b)माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r है

व्यास =2r=32(2n+1)

 r=34(2n+1)

आयतन =43r3

V=4327642n+13

V=9162n+13

dVdn=91632n+122

=2782n+12

n के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर =2782n+12

21-aवक्र y=t2-3t+1 के बिंदु 0,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

bवक्र y=t2-3t+1 के बिंदु 4,5पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

उत्तर a वक्र y=t2-3t+1

 t के सापेक्ष अवकलन करने पर dydt=2t-3

बिंदु0,1 पर,

dydt=20-3

dydt=-3

अतः  प्रवणता =-3

b  वक्र y=t2-3t+1

 t के सापेक्ष अवकलन करने पर dydt=2t-3

बिंदु4,5 पर,

dydt=24-3

dydt=5

अतः  प्रवणता =5

22-aवक्र y2=4x के बिंदु 4,4पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए |

bवक्र y2=4x के बिंदु 1,2पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए |

उत्तर-aवक्र y2=4x

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2ydydx=4

dydx=2y

बिंदु4,4 पर,

dydx=24

dydx=12

अतः  प्रवणता =12

bवक्र y2=4x

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2ydydx=4

dydx=2y

बिंदु1,2 पर,

dydx=22

dydx=1

अतः  प्रवणता =1

23-aदिखाइए कि फलन fx=3x+17 , R पर वर्धमान है | 

bदिखाइए कि फलन ∵ fx=x3-272x2+27 x-16 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर- aमाना x1,x2R इस प्रकार है कि 

x1<x23x1<3x2

3x1+17<3x2+17

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है | 

b∵ fx=x3-272x2+27 x-16

∴ f'x=3x2-27x+27

=3(x2-9x+9)

=3x-32

अब xR के लिए  ,  x-320f'x0

इसलिए f'x0  सभी  xR ,

24- (a)एक घन के कोर में 2 सेंटीमीटर प्रति सेकंड की दर से वृद्धि होती है| यदि कोर की लंबाई 8 सेंटीमीटर हो,तो घन के आयतन में किस दर से वृद्धि होगी?

(b)एक गुब्बारा सदैव गोलाकार रहता है ,का परिवर्तनशील व्यास 32(3x+1) है| x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए| 

उत्तर-(a)माना घन के कोर की लंबाई x  सेंटीमीटर है,

तब dxdt=2 सेंटीमीटर प्रति सेकंड

आयतन ,V=x3

dVdt=3x2dxdt

dVdtx=8 पर=3822

=384सेमी3/सेकंड

(b)माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r है

व्यास =2r=32(3x+1)

 r=34(3x+1)

आयतन =43r3

V=4327643x+13

V=9163x+13

dVdx=91633x+123

=27163x+12

x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर =27163x+12

25-अवकलन का प्रयोग करके a65 b26 सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिये | 

उत्तर- aमान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=64 तथा h=1

∴x+h=65

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

64+1=11264+64

65=116+8

=0.0625+8

65=8.0625

bमान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=25 तथा h=1

∴x+h=27

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

26+1=11225+25

26=110+5

=0.100+5