बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 6 अवकलज के अनुप्रयोग लघु उत्तरीय प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

01- एक घन के कोर में 4 सेंटीमीटर प्रति सेकंड की दर से वृद्धि होती है| यदि कोर की लंबाई 8 सेंटीमीटर हो,तो घन के आयतन में किस दर से वृद्धि होगी? 

उत्तर- माना घन के कोर की लंबाई x  सेंटीमीटर है,

तब dxdt=4 सेंटीमीटर प्रति सेकंड

आयतन ,V=x³

dVdt=3x2dxdt

dVdtx=8 पर=3824

=768सेमी3/सेकंड

02-दिखाइए कि फलन fx=3x+17 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर- माना x₁,x₂ R इस प्रकार है कि 

x₁<x23x1<3x2

3x1+17<3x2+17

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है | 

03- एक स्थिर झील में एक पत्थर का टुकड़ा डाला जाता है | झील में पानी की लहरें 8 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृत्ताकार पथ में गमन करती हैं | यदि वृत्त की त्रिज्या 9 सेंटीमीटर हो, तो उसके परिबद्ध क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी?

उत्तर-माना कि वृत्त की त्रिज्या =r

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

∴ समय t के सापेक्ष क्षेत्रफल A के परिवर्तन की दर है 

dAdt=ddtr2

=dr2drdrdt

dAdt=2rdrdt

drdt=8 सेमी/सेकंड ,r=9 सेमी

dAdt=298

dAdt=144 सेमी2/सेकंड

अतः जब r=9 सेमी तब वृत्त के परिबद्ध क्षेत्रफल में 144 वर्ग सेमी प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होगी | 

04-दिखाइए कि फलन fx=x3-6x2+12x-16 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर-∵ fx=x3-6x2+12x-16

∴ f'x=3x2-12x+12

=3(x2-4x+4)

=3x-22

अब xR के लिए  ,  x-220f'x0

इसलिए f'x0  सभी  xR ,

05-एक गुब्बारा सदैव गोलाकार रहता है ,का परिवर्तनशील व्यास 32(2x+1) है| x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए|

उत्तर-माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r है

व्यास =2r=32(2x+1)

 r=34(2x+1)

आयतन =43r3

V=4327642x+13

V=9162x+13

dVdx=91632x+122

=2782x+12

x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर =2782x+12

06-वक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 3,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

उत्तर  वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु3,1 पर,

dydx=23-3

dydx=3

अतः  प्रवणता =3

07- दिखाइए कि फलन fx=2x+15 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर- माना x1,x2R इस प्रकार है कि 

x1<x22x1<2x2

2x1+15<2x2+15

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है |

08-वक्र y2=4x के बिंदु 1,2पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए |

उत्तर-वक्र y2=4x

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2ydydx=4

dydx=2y

बिंदु1,2 पर,

dydx=22

dydx=1

अतः  प्रवणता =1

09-अवकलन का प्रयोग करके 401 सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिये | 

उत्तर- मान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=400 तथा h=1

∴x+h=401

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

400+1=112400+400

401=140+20

=0.025+20

401=20.025

10-वृत्त की त्रिज्या में 5 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होती है | ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 12 सेंटीमीटर है ?

उत्तर-माना वृत्त की त्रिज्या r सेंटीमीटर है,

त्रिज्या में वृद्धि की दर=drdt=5 सेंटीमीटर  प्रति सेकंड

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

dAdt=2rdrdt

=2125

जहां  r=12 सेमी दिया है

dAdt=120 सेमी2/सेकंड

अतः क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर 120 वर्ग सेंटीमीटर  प्रति सेकंड है

11-दिखाइए कि फलन ∵ fx=x3-272x2+27 x-16 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर-∵ fx=x3-272x2+27 x-16

∴ f'x=3x2-27x+27

=3(x2-9x+9)

=3x-32

अब xR के लिए  ,  x-320f'x0

इसलिए f'x0  सभी  xR ,

12- किसी उत्पादन की x इकाई के विक्रय से प्राप्त होने वाली कुल आय Rx=5x2+35x+7 से प्रदत है | जब x=7 हो, तब सीमांत आय ज्ञात कीजिए |जहां सीमांत आय से हमारा तात्पर्य किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष संपूर्ण आय के परिवर्तन की दर से है| 

उत्तर-सीमांत आय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष आए परिवर्तन की दर होती है| 

हम जानते हैं कि सीमांत आय MR=10x+5

जब x=7 हो , तब MR=107+35=105

अतः अभीष्ट आय  अर्थात आय  प्रति इकाई 105  रुपए हैं |

13-दिखाइए कि फलन fy=5y+5 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर- माना y1,y2R इस प्रकार है कि 

y1<y25y1<5y2

5y1+5<5y2+5

f(y1)<f(y2)

अतः fy,सभी yR के लिए वर्धमान है |

14-दिखाइए कि फलन fy=y3-6y2+12y-16 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर-∵ fy=y3-6y2+12y-16

∴ f'y=3y2-12y+12

=3(y2-4y+4)

=3y-22

अब yR के लिए  ,  y-220f'y0

इसलिए f'y0  सभी  yR ,

15-वक्र y2=4x के बिंदु 4,4पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए |

उत्तर-वक्र y2=4x

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर 2ydydx=4

dydx=2y

बिंदु4,4 पर,

dydx=24

dydx=12

अतः  प्रवणता =12

16- किसी उत्पादन की x इकाई के विक्रय से प्राप्त होने वाली कुल आय Rx=5x2+35x+7 से प्रदत है | जब x=8 हो, तब सीमांत आय ज्ञात कीजिए |जहां सीमांत आय से हमारा तात्पर्य किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष संपूर्ण आय के परिवर्तन की दर से है| 

उत्तर-सीमांत आय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओं के सापेक्ष आए परिवर्तन की दर होती है| 

हम जानते हैं कि सीमांत आय MR=10x+5

जब x=8 हो , तब MR=108+35=115

अतः अभीष्ट आय  अर्थात आय  प्रति इकाई 115  रुपए हैं |

17-वक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 0,1पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

उत्तर  वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु0,1 पर,

dydx=20-3

dydx=-3

अतः  प्रवणता =-3

18-दिखाइए कि फलन fx=5x+27 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर- माना x1,x2R इस प्रकार है कि 

x1<x25x1<5x2

3x1+27<3x2+27

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है |

19-अवकलन का प्रयोग करके 37 सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिये | 

उत्तर- मान लीजिये fx=x....................1

f'x=12x.................................................2

यहाँ माना x=36 तथा h=1

∴x+h=37

हम जानते है कि fx+h=hf'x+fx  

x+h=h12x+x

36+1=11236+36

37=112+6

=0.0833+6

37=6.0833

20-वृत्त की त्रिज्या में 6 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होती है | ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 सेंटीमीटर है ?

उत्तर-माना वृत्त की त्रिज्या r सेंटीमीटर है,

त्रिज्या में वृद्धि की दर=drdt=6 सेंटीमीटर  प्रति सेकंड

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

dAdt=2rdrdt

=2106

जहां  r=10 सेमी दिया है

dAdt=120 सेमी2/सेकंड

अतः क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर 120 वर्ग सेंटीमीटर  प्रति सेकंड है

21--दिखाइए कि फलन ∵ fy=y3-272y2+27 y-16 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर-∵ fy=y3-272y2+27 y-16

∴ f'y=3y2-27y+27

=3(y2-9y+9)

=3y-32

अब yR के लिए  ,  y-320f'y0

इसलिए f'y0  सभी  yR ,

22-किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों मेंRx=13x2+26x+15 से प्रदत्त है| सीमांत आय ज्ञात कीजिए जबकिx=7 है |

उत्तर-   दिया है  आयRx=13x2+26x+15

सीमांत आय=dRxdx=26x+26

x=7रखने पर

सीमांत आय=267+26

=182+26

=208

अतः सीमांत आय=208

23-दिखाइए कि फलन fx=5x+5 , R पर वर्धमान है | 

उत्तर- माना x1,x2R इस प्रकार है कि 

x1<x25x1<5x2

5x1+5<5x2+5

f(x1)<f(x2)

अतः fx,सभी xR के लिए वर्धमान है |

24-वक्र y=x2-3x+1 के बिंदु 4,5पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए | 

उत्तर  वक्र y=x2-3x+1

 x के सापेक्ष अवकलन करने पर dydx=2x-3

बिंदु4,5 पर,

dydx=24-3

dydx=5

अतः  प्रवणता =5

25-एक स्थिर झील में एक पत्थर का टुकड़ा डाला जाता है | झील में पानी की लहरें 10 सेंटीमीटर प्रति सेकेंड की दर से वृत्ताकार पथ में गमन करती हैं | यदि वृत्त की त्रिज्या 12 सेंटीमीटर हो, तो उसके परिबद्ध क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी?

उत्तर-माना कि वृत्त की त्रिज्या =r

वृत्त का क्षेत्रफल A=r2

∴ समय t के सापेक्ष क्षेत्रफल A के परिवर्तन की दर है 

dAdt=ddtr2

=dr2drdrdt

dAdt=2rdrdt

drdt=10 सेमी/सेकेंड ,r=12 सेमी

dAdt=21012

dAdt=240 सेमी2/सेकंड

अतः जब r=12सेमी तब वृत्त के परिबद्ध क्षेत्रफल में 240 वर्ग सेमी प्रति सेकेंड की दर से वृद्धि होगी |