बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 7 समाकलन समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 

01-14x5-x+xdx का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-माना I=14x5-x+xdx......................1

I=141+4-x5-1+4-x+1+4-xdx 

I=145-xx+5-xdx ........................2

2I=14x5-x+xdx+145-xx+5-xdx

2I=14x+5-xx+5-xdx

2I=141.dx

2I=x14=4-1=3

I=32

02-e5 log z-e4 log ze3 log z-e2 log zdz का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-e5 log z-e4 log ze3 log z-e2 log zdz =elogz5-elogz4e logz3-elog z2dz

∵elog z=z

e5 log z-e4 log ze3 log z-e2 log zdz =z5-z4z3-z2dz

=z4z-1z2z-1dz

z2dz=z2+12+1=z33

03-03xdx का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-03xdx=01xdx+12xdx+23xdx

=0.dx+121.dx+232.dx

=0+x12+2x23

=2-1+6-4

=1+2=3

04- v4v2+1dv का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-v4v2+1dv=v4-1+1v2+1dv

=v2-1v2+1+1v2+1dv

=v2-1v2+1v2+1+1v2+1dv

=v2-1+1v2+1dv

=v2dv-1.dv+1v2+1dv

=v33-v+tan-1v

05-tan 2x+cot 2x2dxका मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-tan 2x+cot 2x2dx=(tan22x+cot22x+2 tan 2x cot 2x) dx

=sec22x-1+cosec22x-1+21dx

=sec22x+cosec22x-2+2dx

=sec22xdx+cosec22xdx

=12tan 2x+12-cot 2x

=12(tan 2x-cot 2x)

06-15x6-x+xdx का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-माना I=15x6-x+xdx......................1

I=151+5-x6-1+5-x+1+5-xdx 

I=156-xx+6-xdx ........................2

2I=15x6-x+xdx+156-xx+6-xdx

2I=15x+6-xx+6-xdx

2I=151.dx

2I=x15=5-1=4

I=2

07- u4u2+1du का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-u4u2+1du=u4-1+1u2+1du

=u2-1u2+1+1u2+1du

=u2-1u2+1u2+1+1u2+1du

=u2-1+1u2+1du

=u2du-1.du+1u2+1du

=u33-u+tan-1u

08-e5 log u-e4 log ue3 log u-e2 log udu का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-e5 log u-e4 log ue3 log u-e2 log udu =elogu5-elogu4e logu3-elog u2du

∵elog u=u

e5 log u-e4 log ue3 log u-e2 log udu =u5-u4u3-u2du

=u4u-1u2u-1du

u2du=u2+12+1=u33

09- y4y2+1dy का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-y4y2+1dy=y4-1+1y2+1dy

=y2-1y2+1+1y2+1dy

=y2-1y2+1y2+1+1y2+1dy

=y2-1+1y2+1dy

=y2dy-1.dy+1y2+1dy

=y33-y+tan-1y

10-tan 3x+cot 3x2dxका मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-tan 3x+cot 3x2dx=(tan23x+cot23x+2 tan 3x cot 3x) dx

=sec23x-1+cosec23x-1+21dx

=sec23x+cosec23x-2+2dx

=sec23x dx+cosec23x dx

=13tan 3x+13-cot 3x

=13(tan 3x-cot 3x)

11- t4t2+1dt का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-t4t2+1dt=t4-1+1t2+1dt

=t2-1t2+1+1t2+1dt

=t2-1t2+1t2+1+1t2+1dt

=t2-1+1t2+1dt

=t2dt-1.dt+1t2+1dt

=t33-t+tan-1t

12-tan y+cot y2dyका मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-tan y+cot y2dy=(tan2y+cot2y+2 tan y cot y) dy

=sec2y-1+cosec2y-1+21dy

=sec2y+cosec2y-2+2dy

=sec2ydy+cosec2ydy

=tan y+-cot y

=tan y-cot y

13-e5 log v-e4 log ve3 log v-e2 log vdv का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-e5 log v-e4 log ve3 log v-e2 log vdv =elogv5-elogv4e logv3-elog v2dv

∵elog v=v

e5 log v-e4 log ve3 log v-e2 log vdv =v5-v4v3-v2dv

=v4v-1v2v-1dv

v2dv=v2+12+1=v33

14- r4r2+1dr का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-r4r2+1dr=r4-1+1r2+1dr

=r2-1r2+1+1r2+1dr

=r2-1r2+1r2+1+1r2+1dr

=r2-1+1r2+1dr

=r2dr-1.dr+1r2+1dr

=r33-r+tan-1r

15-tan 4x+cot 4x2dxका मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-tan 4x+cot 4x2dx=(tan24x+cot24x+2 tan 4x cot 4x) dx

=sec24x-1+cosec24x-1+21dx

=sec24x+cosec24x-2+2dx

=sec24xdx+cosec24xdx

=14tan 4x+14-cot 4x

=14(tan 4x-cot 4x)

16-16x7-x+xdx का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-माना I=16x7-x+xdx......................1

I=161+6-x7-1+6-x+1+6-xdx 

I=167-xx+7-xdx ........................2

2I=16x7-x+xdx+167-xx+7-xdx

2I=16x+7-xx+7-xdx

2I=161.dx

2I=x16=6-1=5

I=52

17-01z21+z6dz का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-01z21+z6dz=01z21+z32dz

z3=t

3z2dz=dt

z2dz=dt3

z=0t=0

z=1t=1

0113dt1+t2=13tan-1t01

=13tan-11-tan-10

=134-0

=12

18-e5 log w-e4 log we3 log w-e2 log wdw का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-e5 log w-e4 log we3 log w-e2 log wdw =elogw5-elogw4e logw3-elog w2dw

∵elog w=w

e5 log w-e4 log we3 log w-e2 log wdw =w5-w4w3-w2dw

=w4w-1w2w-1dw

w2dw=w2+12+1=w33

19-a∞dyy2a2+y2  का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-a∞dyy2a2+y2

y=a tan

dy=a sec2 d

42a sec2a2tan2a2+a2tan2d=1a242cos sin2d

=1a242cot cosec d

=1a2-cosec 42

=1a2-cosec2+cosec4

=1a22-1

20-tan 2t+cot 2t2dtका मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-tan 2t+cot 2t2dt=(tan22t+cot22t+2 tan 2t cot 2t) dt

=sec22t-1+cosec22t-1+21dt

=sec22t+cosec22t-2+2dt

=sec22tdt+cosec22tdt

=12tan 2t+12-cot 2t

=12(tan 2t-cot 2t)

21-01x21+x6dx का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-01x21+x6dx=01x21+x32dx

x3=t

3x2dx=dt

x2dx=dt3

x=0t=0

x=1t=1

0113dt1+t2=13tan-1t01

=13tan-11-tan-10

=134-0

=12

22-e5 log r-e4 log re3 log r-e2 log rdr का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-e5 log r-e4 log re3 log r-e2 log rdr =elogr5-elogr4e logr3-elog r2dr

∵elog r=r

e5 log r-e4 log re3 log r-e2 log rdr =r5-r4r3-r2dr

=r4r-1r2r-1dr

r2dr=r2+12+1=r33

23-01y21+y6dy का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-01y21+y6dy=01y21+y32dy

y3=t

3y2dy=dt

y2dy=dt3

y=0t=0

y=1t=1

0113dt1+t2=13tan-1t01

=13tan-11-tan-10

=134-0

=12

24-a∞dxx2a2+x2  का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-a∞dxx2a2+x2

x=a tan

dx=a sec2 d

42a sec2a2tan2a2+a2tan2d=1a242cos sin2d

=1a242cot cosec d

=1a2-cosec 42

=1a2-cosec2+cosec4

=1a22-1

25-  a∞ex1+e2xdx का मान ज्ञात कीजिए |

उत्तर-a∞ex1+e2xdx=a∞ex1+ex2dx

ex=t

exdx=dt

a∞dt1+t2=tan-1t0∞

=tan-1ex0∞

=tan-1∞-tan-11

=2-4