बिहार बोर्ड कक्षा 12 गणित अध्याय 9 अवकल समीकरण दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
01-वक्र y=a sinx+b के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=a sinx+b ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{a sinx+b}dx
dydx=ad{ sinx+b}dx
dydx=a cosx+b ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddxa cosx+b
d2ydx2=addx cosx+b
d2ydx2=-a sinx+b ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से a तथा b को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=a sinx+b के कुल को प्रदर्शित करता है
02-वक्र y=nx+n के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=nx+n .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dnxdx+dndx
dydx=ndxdx+0
dydx=n ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=nx+n के कुल को प्रदर्शित करता है
03-वक्र y=2 sinx+3 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=2 sinx+3 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{2 sinx+3}dx
dydx=2d{ sinx+3}dx
dydx=2 cosx+3 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx2 cosx+3
d2ydx2=2ddx cosx+3
d2ydx2=-2 sinx+3 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 2 तथा 3 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=2 sinx+3 के कुल को प्रदर्शित करता है
04-वक्र y=bx+c के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=bx+c .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dbxdx+dcdx
dydx=bdxdx+0
dydx=b ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=bx+c के कुल को प्रदर्शित करता है
05-वक्र y=3 sinx+4 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=3 sinx+4 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{3 sinx+4}dx
dydx=3d{ sinx+4}dx
dydx=3 cosx+4 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx3 cosx+4
d2ydx2=3ddx cosx+4
d2ydx2=-3 sinx+4 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 3 तथा 4 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=3 sinx+4 के कुल को प्रदर्शित करता है
06-वक्र y=8x+7 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=8x+7 .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d8xdx+d7dx
dydx=8dxdx+0
dydx=8 ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=8x+7 के कुल को प्रदर्शित करता है
07-वक्र y=4 sinx+5 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=4 sinx+5 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{4 sinx+5}dx
dydx=4d{ sinx+5}dx
dydx=4 cosx+5 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx4 cosx+5
d2ydx2=4ddx cosx+5
d2ydx2=-4 sinx+5 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 4 तथा 5 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=4 sinx+5 के कुल को प्रदर्शित करता है
08-वक्र y=mx+n के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=mx+n .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dmxdx+dndx
dydx=mdxdx+0
dydx=m ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=mx+n के कुल को प्रदर्शित करता है
09-वक्र y=5 sinx+6 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=5 sinx+6 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{5 sinx+6}dx
dydx=5d{ sinx+6}dx
dydx=5 cosx+6 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx5 cosx+6
d2ydx2=5ddx cosx+6
d2ydx2=-5 sinx+6 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 5 तथा 6 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=5 sinx+6 के कुल को प्रदर्शित करता है
10-वक्र y=nx+m के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=nx+m .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dnxdx+dmdx
dydx=ndxdx+0
dydx=n ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=nx+m के कुल को प्रदर्शित करता है
11-वक्र y=6 sinx+7 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=6 sinx+7 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{6 sinx+7}dx
dydx=6d{ sinx+7}dx
dydx=6 cosx+7 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx6 cosx+7
d2ydx2=6ddx cosx+7
d2ydx2=-6 sinx+7 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 6 तथा 7 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=6 sinx+7 के कुल को प्रदर्शित करता है-
12-वक्र y=mx+m के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=mx+m .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dmxdx+dmdx
dydx=mdxdx+0
dydx=m ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=mx+m के कुल को प्रदर्शित करता है
13-वक्र y=7 sinx+8 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=7 sinx+8 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{7 sinx+8}dx
dydx=7d{ sinx+8}dx
dydx=7 cosx+8 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx7 cosx+8
d2ydx2=7ddx cosx+8
d2ydx2=-7 sinx+8 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 7 तथा 8 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=7 sinx+8 के कुल को प्रदर्शित करता है
14-वक्र y=ax+n के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=ax+n .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=daxdx+dndx
dydx=adxdx+0
dydx=a ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=ax+n के कुल को प्रदर्शित करता है
15-वक्र y=8 sinx+8 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=8 sinx+8 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{8 sinx+8}dx
dydx=8d{ sinx+8}dx
dydx=8 cosx+8 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx8 cosx+8
d2ydx2=8ddx cosx+8
d2ydx2=-8 sinx+8 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 8 तथा 8 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=8 sinx+8 के कुल को प्रदर्शित करता है
16-वक्र y=nx+a के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=nx+a .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dnxdx+dadx
dydx=ndxdx+0
dydx=n ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=nx+a के कुल को प्रदर्शित करता है
17-वक्र y=7 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=7 sinx+9 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{7 sinx+9}dx
dydx=7d{ sinx+9}dx
dydx=7 cosx+9 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx7 cosx+9
d2ydx2=7ddx cosx+9
d2ydx2=-7 sinx+9 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 7 तथा 9 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=7 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करता है
18-वक्र y=nx+b के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=nx+b .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dnxdx+dbdx
dydx=ndxdx+0
dydx=n ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=nx+b के कुल को प्रदर्शित करता है
19-वक्र y=6 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=6 sinx+9 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{6 sinx+9}dx
dydx=6d{ sinx+9}dx
dydx=6 cosx+9 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx6 cosx+9
d2ydx2=6ddx cosx+9
d2ydx2=-6 sinx+9 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 6 तथा 9 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=6 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करता है
20-वक्र y=bx+n के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=bx+n .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dbxdx+dndx
dydx=bdxdx+0
dydx=b ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=bx+n के कुल को प्रदर्शित करता है
21-वक्र y=5 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=5 sinx+9 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{5 sinx+9}dx
dydx=5d{ sinx+9}dx
dydx=5 cosx+9 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx5 cosx+9
d2ydx2=5ddx cosx+9
d2ydx2=-5 sinx+9 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 5 तथा 9 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=5 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करता है
22-वक्र y=bx+b के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र y=bx+b .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=dbxdx+dbdx
dydx=bdxdx+0
dydx=b ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र y=bx+b के कुल को प्रदर्शित करता है
23-वक्र y=4 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=4 sinx+9 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{4 sinx+9}dx
dydx=4d{ sinx+9}dx
dydx=4 cosx+9 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx4 cosx+9
d2ydx2=4ddx cosx+9
d2ydx2=-4 sinx+9 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 4 तथा 9 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=4 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करता है
24-वक्र y=3 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर-वक्र y=3 sinx+9 ...........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
dydx=d{3 sinx+9}dx
dydx=3d{ sinx+9}dx
dydx=3 cosx+9 ..........2
समीकरण 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddxdydx=ddx3 cosx+9
d2ydx2=3ddx cosx+9
d2ydx2=-3 sinx+9 ..........3
समीकरण 1, 2 तथा 3 से 3 तथा 9 को विलुप्त करने पर
d2ydx2+y=0 ......4
अवकल समीकरण 4 वक्र y=3 sinx+9 के कुल को प्रदर्शित करता है
25-वक्र x2+y2=81 के कुल को प्रदर्शित करने वाले अवकल समीकरण को ज्ञात कीजिये
उत्तर- वक्र x2+y2=81 .........1
समीकरण 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
ddx(x2+y2)=d81dx
dx2dx+dy2dx=d81dx
2x+2ydydx=0
x+ydydx=0 ..........2
अवकल समीकरण 2 वक्र x2+y2=81 के कुल को प्रदर्शित करता है
