UP बोर्ड कक्षा 12 वी गणित - अध्याय 1: सम्बन्ध तथा फलन के Handwritten नोट्स

सम्बन्ध (Relation): सम्बन्ध एक ऐसे जुड़ाव को दर्शाता है जो दो सेट्स (Sets) के तत्वों के बीच होता है। यदि A और B दो सेट्स हैं, तो A से B तक एक सम्बन्ध तब होता है जब A के कुछ या सभी तत्व B के तत्वों से जुड़े होते हैं। इसे $\mathbf{R \subseteq A \times B}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $\times$ का मतलब है Cartesion product (कार्टेसीयन गुणा)।

फलन (Function): फलन एक विशेष प्रकार का सम्बन्ध है, जहाँ प्रत्येक तत्व सेट A से सेट B में एक विशिष्ट तत्व से जुड़ा होता है। इसे $\mathbf{f : A \to B}$ के रूप में लिखा जाता है। इसमें, A को डोमेन (Domain) और B को कोडोमेन (Codomain) कहते हैं। यदि किसी A के तत्व x को B के तत्व y से जोड़ा जाता है, तो इसे f(x) = y के रूप में व्यक्त किया जाता है।

मुख्य बिंदु (Key Points):

1. सम्बन्ध (Relation):

   • एक सेट A के तत्वों को दूसरे सेट B के तत्वों से जोड़ा जाता है।
   • एक सम्बन्ध में A के एक से अधिक तत्व B के किसी एक या अधिक तत्वों से जुड़ सकते हैं।

2. फलन (Function):

   • हर A के तत्व का B के किसी विशिष्ट तत्व से जुड़ा होना आवश्यक है।
   • फलन में A के किसी भी तत्व से B के एक और केवल एक तत्व से जुड़ा जाता है।

3. प्रकार:

   • एक से एक फलन (One-to-One Function): हर A के तत्व का B के एक अनूठे तत्व से जुड़ना।
   • बहु-से-एक फलन (Many-to-One Function): A के कई तत्व B के एक ही तत्व से जुड़े होते हैं।
   • एक से कई फलन (One-to-Many Function): A का एक तत्व B के कई तत्वों से जुड़ा होता है (यह फलन नहीं होता)।
   • कई-से-कई फलन (Many-to-Many Function): A के कई तत्व B के कई तत्वों से जुड़े होते हैं (यह भी फलन नहीं होता)।

4. सिद्धांत:

   • फलन की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि एक A के तत्व से B के एक और केवल एक तत्व से जुड़ा जाता है।

निष्कर्ष (Conclusion):

सम्बन्ध और फलन दोनों का महत्वपूर्ण स्थान है गणित में। जहाँ सम्बन्ध किसी भी प्रकार के जुड़ाव को व्यक्त करता है, वहीं फलन एक विशेष प्रकार का सम्बन्ध होता है जिसमें प्रत्येक A के तत्व का एक विशिष्ट B के तत्व से जुड़ा होना आवश्यक है। इसे संक्षेप में यह कहा जा सकता है कि फलन एक प्रकार का नियंत्रित सम्बन्ध होता है, जिसमें प्रत्येक इनपुट का एक सटीक आउटपुट होता है।

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