बिहार बोर्ड कक्षा 9 वी गणित - अध्याय 12: हीरोन सूत्र की NCERT Book

हीरोन सूत्र" कक्षा 9 का एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसमें हम त्रिकोण के क्षेत्रफल को निकालने के लिए एक सामान्य सूत्र को समझते हैं। यह सूत्र, जिसे हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) कहा जाता है, किसी त्रिकोण का क्षेत्रफल निकालने के लिए उन त्रिकोण के तीनों भुजाओं की लंबाई का उपयोग करता है। यह सूत्र विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब त्रिकोण की ऊँचाई या कोण ज्ञात न हो, केवल भुजाओं की जानकारी हो। इस अध्याय में हम हीरोन सूत्र के प्रयोग, उसकी विधि, और इसके अनुप्रयोगों के बारे में विस्तार से जानेंगे।

महत्वपूर्ण बिंदु:

1. हीरोन सूत्र की परिभाषा (Definition of Heron’s Formula):

   • हीरोन सूत्र का उपयोग एक त्रिकोण का क्षेत्रफल निकालने के लिए किया जाता है, जब त्रिकोण की तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो।
   • सूत्र इस प्रकार है: $$\text{Area of Triangle} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$ जहाँ:
     • $a, b, c$ त्रिकोण की तीनों भुजाओं की लंबाई हैं।
     • $s$ अर्द्धपरिधि (semi-perimeter) है, जिसे निम्नलिखित तरीके से निकाला जाता है: $$s = \frac{a + b + c}{2}$$
     • $s$ अर्द्धपरिधि है, जो तीनों भुजाओं का योगफल का आधा होता है।

2. हीरोन सूत्र का उपयोग (Usage of Heron’s Formula):

   • जब त्रिकोण की ऊँचाई या कोण नहीं दिए जाते, लेकिन त्रिकोण की तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तब हीरोन सूत्र का उपयोग किया जाता है।
   • यह विशेष रूप से गैर-समकोण त्रिकोणों के लिए उपयोगी है, क्योंकि इन त्रिकोणों का क्षेत्रफल निकालने के लिए सामान्य त्रिकोणमिति सूत्रों (जैसे $\frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height}$) का प्रयोग नहीं किया जा सकता।

3. हीरोन सूत्र का उदाहरण (Example of Heron's Formula): मान लीजिए एक त्रिकोण की भुजाएँ 7 cm, 8 cm, और 9 cm हैं। इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए हम हीरोन सूत्र का उपयोग करेंगे।

   • सबसे पहले, अर्द्धपरिधि $s$ निकाले: $$s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$$
   • फिर, क्षेत्रफल का सूत्र लागू करें: $$\text{Area} = \sqrt{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83 \, \text{cm}^2$$
   • इस प्रकार, त्रिकोण का क्षेत्रफल लगभग 26.83 वर्ग सेंटीमीटर होगा।

4. हीरोन सूत्र के अनुप्रयोग (Applications of Heron’s Formula):

   • हीरोन सूत्र का उपयोग विभिन्न प्रकार के त्रिकोणों के क्षेत्रफल को निकालने में किया जाता है, चाहे वे समकोण त्रिकोण हों, सममित त्रिकोण हों या किसी भी प्रकार के गैर-समकोण त्रिकोण।
   • यह विशेष रूप से वास्तुकला, इंजीनियरिंग, और भूगोल में उपयोगी है, जहाँ विभिन्न प्रकार के त्रिकोणों के क्षेत्रफल की गणना की जाती है।

5. हीरोन सूत्र के लाभ (Advantages of Heron’s Formula):

   • यह त्रिकोण का क्षेत्रफल निकालने का एक सामान्य और सरल तरीका है।
   • जब त्रिकोण की ऊँचाई और कोण उपलब्ध न हों, तो यह सूत्र बेहद उपयोगी साबित होता है।
   • यह त्रिकोण की किसी भी प्रकार की भुजाओं के लिए लागू किया जा सकता है, चाहे त्रिकोण समकोण हो या कोई अन्य प्रकार का।

निष्कर्ष:

"हीरोन सूत्र" कक्षा 9 का एक महत्वपूर्ण गणितीय सूत्र है जो त्रिकोण के क्षेत्रफल को निकालने में सहायक है। यह सूत्र विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब त्रिकोण की ऊँचाई या कोण ज्ञात न हो, बल्कि केवल भुजाओं की लंबाई दी जाती हो। हीरोन सूत्र का ज्ञान त्रिकोणों के क्षेत्रफल को सटीकता से निकालने के लिए आवश्यक है और यह गणितीय समस्याओं के हल में एक शक्तिशाली उपकरण है।