बिहार बोर्ड कक्षा 9 वी गणित - अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की NCERT Book

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन" कक्षा 9 का एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसमें हम ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) और आयतन (Volume) को निकालने के तरीकों को समझते हैं। पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी ठोस आकृति की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल होता है, जबकि आयतन उस आकृति के भीतर के खाली स्थान या घनत्व को मापने के लिए उपयोग किया जाता है। इस अध्याय में हम क्यूब, क्यूबॉयड, सिलेंडर, शंकु, और गोला जैसी ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों को जानेंगे और इनका उपयोग करके विभिन्न उदाहरणों को हल करेंगे।

महत्वपूर्ण बिंदु:

1. पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area):

   • क्यूब (Cube): एक क्यूब की सभी भुजाएं समान होती हैं। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र से निकाला जाता है: $$\text{Surface Area of Cube} = 6a^2$$ जहाँ $a$ क्यूब की एक भुजा है।
   • क्यूबॉयड (Cuboid): क्यूबॉयड में तीन भुजाएं होती हैं, जो लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई होती हैं। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल: $$\text{Surface Area of Cuboid} = 2(lb + bh + hl)$$ जहाँ $l$, $b$, और $h$ क्यूबॉयड की लंबाई, चौड़ाई, और ऊँचाई हैं।
   • सिलेंडर (Cylinder): सिलेंडर का पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों गोल आधारों और बाहरी सतह को जोड़कर निकाला जाता है: $$\text{Surface Area of Cylinder} = 2\pi r (h + r)$$ जहाँ $r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई है।
   • शंकु (Cone): शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र से निकाला जाता है: $$\text{Surface Area of Cone} = \pi r (l + r)$$ जहाँ $r$ त्रिज्या और $l$ शंकु की slant height है।
   • गोला (Sphere): गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल: $$\text{Surface Area of Sphere} = 4\pi r^2$$ जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।

2. आयतन (Volume):

   • क्यूब (Cube): क्यूब का आयतन: $$\text{Volume of Cube} = a^3$$ जहाँ $a$ क्यूब की एक भुजा है।
   • क्यूबॉयड (Cuboid): क्यूबॉयड का आयतन: $$\text{Volume of Cuboid} = l \times b \times h$$ जहाँ $l$, $b$, और $h$ क्यूबॉयड की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई हैं।
   • सिलेंडर (Cylinder): सिलेंडर का आयतन: $$\text{Volume of Cylinder} = \pi r^2 h$$ जहाँ $r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई है।
   • शंकु (Cone): शंकु का आयतन: $$\text{Volume of Cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ जहाँ $r$ त्रिज्या और $h$ ऊँचाई है।
   • गोला (Sphere): गोले का आयतन: $$\text{Volume of Sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।

3. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के अनुप्रयोग (Applications of Surface Area and Volume):

   • पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन की समस्याओं में किया जाता है, जैसे कंक्रीट की मात्रा निकालना, पानी के टैंकों का आकार मापना, या किसी भी ठोस वस्तु के बाहरी क्षेत्रफल और अंदर के स्थान का माप करना।
   • निर्माण, इंजीनियरिंग, और वास्तुकला में भी इनका महत्वपूर्ण योगदान है, जहाँ ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना की जाती है।

4. उदाहरण (Examples):

   • यदि किसी सिलेंडर की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निम्नलिखित होंगे:
     • पृष्ठीय क्षेत्रफल: $$\text{Surface Area of Cylinder} = 2\pi \times 7 \times (10 + 7) = 2\pi \times 7 \times 17 \approx 748.0 \, \text{cm}^2$$
     • आयतन: $$\text{Volume of Cylinder} = \pi \times 7^2 \times 10 = 1540 \, \text{cm}^3$$

निष्कर्ष:

"पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन" अध्याय में हम विभिन्न ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना के सूत्रों को समझते हैं। ये सूत्र हमें ठोस वस्तुओं के बाहरी क्षेत्र और अंदर के स्थान का माप करने में मदद करते हैं, जो कि गणितीय और भौतिक समस्याओं के समाधान में सहायक होते हैं। इस अध्याय का अध्ययन विभिन्न क्षेत्रों जैसे निर्माण, वास्तुकला और इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण है।