बिहार बोर्ड कक्षा 9 वी गणित - अध्याय 2: बहुपद की NCERT Book

"बहुपद" कक्षा 9 का एक महत्वपूर्ण गणितीय अध्याय है, जो बहुपदों के सिद्धांत, गुण, और उनका गुणनफल (multiplication) समझाने पर केंद्रित है। बहुपद वह गणितीय अभिव्यक्ति होती है जिसमें दो या दो से अधिक गुणांक होते हैं, जिन्हें एक साथ जोड़कर या घटाकर अभिव्यक्त किया जाता है। बहुपद का अध्ययन गणित में महत्वपूर्ण है क्योंकि यह कई प्रकार की गणनाओं और समीकरणों में उपयोगी होता है।

महत्वपूर्ण बिंदु:

1. बहुपद क्या है?

   • बहुपद एक गणितीय अभिव्यक्ति होती है, जिसमें संख्याएँ और अंक होते हैं, जो विभिन्न शक्तियों (powers) में जुड़े होते हैं। इसे किसी एक या अधिक चर (variable) के रूप में व्यक्त किया जाता है।
   • उदाहरण: $2x^2 + 3x + 1$ एक बहुपद है, जिसमें $x$ चर है और $2x^2, 3x, 1$ इसके पद (terms) हैं।

2. बहुपद के प्रकार:

   • एक पदीय बहुपद (Monomial): यह बहुपद एक ही पद से बना होता है। उदाहरण: $5x$, $3y^2$।
   • दो पदीय बहुपद (Binomial): इसमें दो पद होते हैं। उदाहरण: $x + 3$, $2x^2 - 5x$।
   • तीन पदीय बहुपद (Trinomial): इसमें तीन पद होते हैं। उदाहरण: $x^2 + 3x + 2$, $4x^2 - 2x + 1$।
   • साधारण बहुपद (Polynomial): इसका कोई भी निश्चित संख्या से अधिक पद हो सकता है। उदाहरण: $x^3 + 2x^2 + x + 7$।

3. बहुपद के घटक:

   • पद (Terms): बहुपद के अलग-अलग हिस्से होते हैं, जिन्हें पद कहा जाता है। जैसे, $2x^2 + 3x + 1$ में तीन पद हैं: $2x^2$, $3x$, और $1$।
   • गुणांक (Coefficient): वह संख्या जो किसी चर के साथ गुणा होती है। जैसे, $3x^2$ में $3$ गुणांक है।
   • चर (Variable): वह प्रतीक या अंक जो किसी अज्ञात संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। जैसे, $x$ और $y$ बहुपदों में सामान्य चर होते हैं।
   • घात (Exponent): वह संख्या जो यह दर्शाती है कि किसी चर को कितनी बार गुणा किया गया है। जैसे, $x^2$ में $2$ घात है।

4. बहुपद का जोड़ और घटाव:

   • दो बहुपदों का जोड़ तब किया जाता है, जब उनके समान घात वाले चर होते हैं। जैसे, $(2x^2 + 3x) + (4x^2 - x) = 6x^2 + 2x$।
   • बहुपदों को घटाने का भी वही तरीका है, बस एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे से घटाना होता है।

5. बहुपद का गुणनफल:

   • बहुपदों के गुणनफल में हर पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। जैसे, $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6$।
   • डिस्ट्रीब्यूटिव प्रॉपर्टी (Distributive Property) का उपयोग करते हुए गुणा किया जाता है।

6. बहुपद का भाग:

   • बहुपदों का भाग करते समय, हम गुणांक और घात के आधार पर श्रेणियाँ बनाते हैं। यह प्रक्रिया डिवीजन के आधार पर की जाती है, जैसे बहुपद का लंबा भाग या डिवीजन तरीका।

7. रूपीकरण (Factoring) और बहुपद का गुणनखंड:

   • बहुपदों को उनके गुणनखंडों में विभाजित करना एक महत्वपूर्ण कौशल है। जैसे, $x^2 + 5x + 6$ को $(x + 2)(x + 3)$ के रूप में रूपांतरित करना।

8. आधार और डिग्री:

   • डिग्री (Degree): बहुपद का डिग्री उसका उच्चतम घात होता है। जैसे, $3x^2 + 5x + 4$ का डिग्री $2$ है।
   • आधार (Leading term): वह पद जो सबसे उच्च घात वाला होता है। इसे बहुपद का प्रमुख पद (leading term) कहा जाता है।

निष्कर्ष:

"बहुपद" अध्याय से यह स्पष्ट होता है कि बहुपद गणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसे जोड़ने, घटाने, गुणा करने, और भाग करने के तरीके गणना की दक्षता को बढ़ाते हैं। बहुपदों का अध्ययन न केवल गणितीय सिद्धांतों को समझने में मदद करता है, बल्कि यह उच्चतर गणना और समीकरणों को हल करने में भी उपयोगी है। बहुपदों को समझकर हम जटिल गणना प्रक्रियाओं को सरल बना सकते हैं और उनके विभिन्न उपयोगों को भी समझ सकते हैं।