बिहार बोर्ड कक्षा 9 वी गणित - अध्याय 4: दो चर वाले रैखिक समीकरण की NCERT Book

"दो चर वाले रैखिक समीकरण" कक्षा 9 का एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसमें हम दो चर वाले रैखिक समीकरणों के बारे में सीखते हैं। इस प्रकार के समीकरणों में दो चर होते हैं, जिन्हें आमतौर पर $x$ और $y$ से दर्शाया जाता है। इन समीकरणों का रूप $ax + by = c$ होता है, जहाँ $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ होती हैं। इस अध्याय में हम इन समीकरणों का हल करने के तरीके, उनके ग्राफ, और अन्य महत्वपूर्ण गुणों के बारे में विस्तार से सीखते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु:

1. रैखिक समीकरण (Linear Equation):

   • रैखिक समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें सबसे उच्च शक्ति वाले चर का घात 1 होता है। उदाहरण के लिए, $2x + 3y = 6$ एक रैखिक समीकरण है क्योंकि $x$ और $y$ का घात 1 है।
   • सामान्य रूप में दो चर वाले रैखिक समीकरण का रूप होता है: $$ax + by = c$$ जहाँ $a$, $b$, और $c$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

2. दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल:

   • दो चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए आमतौर पर तीन प्रमुख विधियाँ होती हैं:
     1. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method):
        • इस विधि में एक समीकरण से एक चर को व्यक्त करते हैं और फिर उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कर देते हैं।
     2. समीकरणों का योग (Elimination Method):
        • इस विधि में दोनों समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं ताकि एक चर समाप्त हो जाए और दूसरे का मान निकाला जा सके।
     3. ग्राफ़ विधि (Graphical Method):
        • इस विधि में दोनों समीकरणों के ग्राफ बनाए जाते हैं और जहाँ दोनों रेखाएँ आपस में मिलती हैं, वहां समाधान मिलता है।

3. दो चर वाले समीकरण का ग्राफ:

   • दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक रेखा (straight line) होती है।
   • अगर समीकरण $ax + by = c$ का कोई हल होता है, तो वह बिंदु $(x, y)$ रेखा पर स्थित होगा।
   • ग्राफ के द्वारा हम समीकरणों के हल को दृश्य रूप में देख सकते हैं, जो कि रेखाओं के एक दूसरे से मिलने के बिंदु (intersection) पर आधारित होता है।

4. समीकरणों के समाधान के प्रकार:

   • एक अद्वितीय समाधान (Unique Solution): जब दो रेखाएँ एक दूसरे को एक बिंदु पर काटती हैं।
   • अनंत समाधान (Infinite Solutions): जब दो रेखाएँ एक ही रेखा होती हैं (उन्हें समान रेखाएँ कहा जाता है)।
   • कोई समाधान नहीं (No Solution): जब दो रेखाएँ एक दूसरे को नहीं काटतीं (वह समानांतर रेखाएँ होती हैं)।

5. प्रस्तावना और अनुप्रयोग:

   • दो चर वाले रैखिक समीकरणों का उपयोग कई वास्तविक जीवन स्थितियों में किया जाता है, जैसे व्यापार, आर्थिक मॉडल, विज्ञान, और इंजीनियरिंग समस्याओं में।
   • इन समीकरणों का उपयोग तब किया जाता है जब दो चर एक दूसरे से संबंधित होते हैं और उनके बीच एक रैखिक संबंध होता है।

6. रैखिक समीकरणों के गुण:

   • रैखिक समीकरणों का हल हमेशा एक रेखा पर होता है।
   • रेखा का ढलान (slope) $\frac{-a}{b}$ होता है।
   • जब $b = 0$, तो समीकरण एक लंबवत रेखा (vertical line) का प्रतिनिधित्व करता है, और जब $a = 0$, तो यह एक क्षैतिज रेखा (horizontal line) होती है।

निष्कर्ष:

"दो चर वाले रैखिक समीकरण" अध्याय में दो चर वाले समीकरणों के हल करने के विभिन्न तरीकों, उनके ग्राफ और गुणों को समझा जाता है। यह गणित का महत्वपूर्ण हिस्सा है क्योंकि यह रैखिक संबंधों को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने में मदद करता है। रैखिक समीकरणों का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है और इसका अध्ययन जीवन की समस्याओं को हल करने में मदद करता है।